詞、曲和有限元-本構(gòu)模型
詩詞通過漢字組合賦予了時(shí)代感、意境美；音樂通過詞曲組合釋放了視聽感、經(jīng)典美；有限元通過點(diǎn)線面體、材料單元屬性和邊界條件展現(xiàn)了立體感、彩圖Good。
從唐詩到宋詞，再到毛澤東詩詞，從孩提時(shí)代《射雕英雄傳》主題曲，到小學(xué)時(shí)的《八仙過海》主題曲，中學(xué)時(shí)的《乙未豪客傳奇》主題曲，大學(xué)時(shí)的《傷心太平洋》，再到《后來》，《小蘋果》，直到如今的《沙漠駱駝》，詩詞陪伴著我們成長，音樂激勵(lì)著我們上進(jìn)。
詩詞、歌詞好比有限元模型中的點(diǎn)、線、面、體、單元和節(jié)點(diǎn)；旋律宛如邊界條件，詩詞、音樂不同等同于分析項(xiàng)目也不同。因此，詞、曲和有限元有異曲同工之妙。
言歸正傳，接下來總結(jié)有限元的兩部分核心內(nèi)容：本構(gòu)模型和分析方法。并用經(jīng)典命令流的方式對(duì)相關(guān)的內(nèi)容舉例論證，看此文章的朋友可以通過信息下載，在ANSYS軟件經(jīng)典界面中運(yùn)行測試。
壓力容器有限元分析類型也很多，結(jié)構(gòu)分析、熱分析、屈曲分析、疲勞分析…最基本的是分析方法和材料的本構(gòu)模型。材料的本構(gòu)模型包括：線彈性模型（各向同性材料、正交各向異性材料、各向異性材料）、彈性-理想塑性模型、塑性增量理論（材料的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線）。
分析方法和本構(gòu)模型是相對(duì)應(yīng)的，分析設(shè)計(jì)方法包括應(yīng)力分類法和直接法。如圖1所示。
應(yīng)力分類法對(duì)應(yīng)于線彈性模型即胡克定律；
極限載荷法對(duì)應(yīng)于彈性-理想塑性模型；
彈塑性分析法對(duì)應(yīng)于塑性本構(gòu)關(guān)系----增量理論，輸入材料的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線求解。
圖1：壓力容器的分析設(shè)計(jì)方法
實(shí)施一完整的壓力容器分析設(shè)計(jì)的一般過程如下：
分析設(shè)計(jì)條件的提出----載荷分析----材料選擇----結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)----總體強(qiáng)度尺寸確定----局部結(jié)構(gòu)強(qiáng)度尺寸初定----分析模型構(gòu)建----應(yīng)力分析----強(qiáng)度評(píng)定（通過）----技術(shù)說明----技術(shù)要求----圖樣繪制----設(shè)計(jì)文件整理。
壓力容器分析設(shè)計(jì)時(shí)，首先進(jìn)行載荷分析，確定結(jié)構(gòu)的載荷形式、量級(jí)、作用區(qū)域和波動(dòng)范圍，諸如內(nèi)壓、外壓、重力、慣性力及載荷循環(huán)次數(shù)。其次進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，確定應(yīng)力分析部位和構(gòu)造力學(xué)模型（包括力學(xué)和位移的邊界條件），確定材料的本構(gòu)關(guān)系，確定分析設(shè)計(jì)方法和結(jié)果處理方法。
一、 本構(gòu)模型：
三種本構(gòu)模型對(duì)應(yīng)的曲線如下圖2所示。線彈性是數(shù)學(xué)中的直線方程y=kx（k為直線的斜率，x為正值），有限元中為σ=Eε；彈性-理想塑性是雙線性方程：一個(gè)是線彈性的直線方程；一個(gè)是y=c（常數(shù)），有限元中定義為結(jié)構(gòu)的屈服強(qiáng)度，即結(jié)構(gòu)的最大等效應(yīng)力不會(huì)超過材料的屈服強(qiáng)度，而結(jié)構(gòu)的應(yīng)變?cè)谠黾印Ｋ苄栽隽坷碚撌侵覆牧系恼鎸?shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線。
圖2： 材料的本構(gòu)模型曲線
A：應(yīng)力分類法中的本構(gòu)模型：
采用線彈性的胡克定律，軟件中包含三種需要輸入的材料參數(shù)：
1）Isotropic：各向同性彈性性能參數(shù)；應(yīng)力分類法時(shí)對(duì)應(yīng)于常見的塑性金屬材料，不包括鑄鐵和鑄鋼等脆性材料。
2）Orthtropic：正交各向異性彈性性能參數(shù)；對(duì)應(yīng)于非金屬材料，如玻璃鋼。
3）Anisotropic：各向異性彈性性能參數(shù)；對(duì)應(yīng)于非金屬材料。
軟件中的材料樹形結(jié)構(gòu)如圖3所示。那么這三種材料屬性如何用命令流輸入以及輸入后軟件的顯示結(jié)果又是怎樣？
圖3：ANSYS軟件中的線彈性材料模型
第一：如果是各向同性材料，這是材料力學(xué)和彈性力學(xué)的基本假設(shè)，此時(shí)只輸入彈性模量和泊松比。
1）彈性模量E：材料在彈性變形階段，其應(yīng)力和應(yīng)變成正比例關(guān)系（即符合胡克定律），其比例系數(shù)E稱為彈性模量。關(guān)系式為：σ=Eε
2）切變模量G：指材料在彈性變形階段內(nèi)，剪切應(yīng)力與對(duì)應(yīng)剪切應(yīng)變的比值。關(guān)系式為：τ=Gγ
3）泊松比μ：材料沿載荷方向產(chǎn)生伸長(或縮短)變形的同時(shí)，在垂直于載荷的方向會(huì)產(chǎn)生縮短(或伸長)變形。垂直方向上的應(yīng)變ζ與載荷方向上的應(yīng)變ε之比的負(fù)值稱為材料的泊松比。以μ表示泊松比，則μ=-ζ/ε。在材料彈性變形階段內(nèi)，μ是一個(gè)常數(shù)。
針對(duì)各向同性材料，因G=E/[2(1+μ)]，因此，有限元分析時(shí)只要輸入兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)便可確定第三個(gè)，一般輸入彈性模量EX和泊松比NUXY。
| ！各向同性材料的命令流如下： /PREP7 !材料1為各向同性材料 MP,EX,1,2e5 !定義材料1的彈性模量 MP,NUXY,1,0.3 !定義材料1的泊松比 |
圖4：各向同性材料參數(shù)輸入后軟件的顯示結(jié)果
第二：如果要做正交各向異性的材料，在相互垂直的兩個(gè)方向上具有不同的性能指標(biāo)。因此需要輸入X、Y、Z三個(gè)方向的彈性模量以及XY、XZ、YZ三個(gè)面上的剪切模量以及泊松比。
例如深冷設(shè)備中內(nèi)外罐體之間的非金屬支撐材料----玻璃鋼，需要輸入9個(gè)參數(shù)。此時(shí)，如果模型中只有這一種材料，那么總體坐標(biāo)系與你所定義的三個(gè)方向的參數(shù)要對(duì)應(yīng)，X對(duì)應(yīng)軸向；Y對(duì)應(yīng)徑向；Z對(duì)應(yīng)環(huán)向。如果模型中既有各向同性又有各向異性材料，那么對(duì)于各向異性材料，建模時(shí)要單獨(dú)定義局部坐標(biāo)系，并且坐標(biāo)系的方向要與所定義的材料屬性對(duì)應(yīng)。分析完成后進(jìn)行評(píng)定時(shí)，需要評(píng)定軸向拉或壓應(yīng)力，剪切應(yīng)力，彎曲應(yīng)力等，分別小于其許用軸向拉壓應(yīng)力，許用剪切應(yīng)力，許用彎曲應(yīng)力。
正交各向異性材料的相關(guān)命令流如下：
| ！Orthtropic：正交各向異性彈性性能參數(shù) /PREP7 !材料2為正交各向異性材料 MP,EX,2,2E5 MP,EY,2,4E5 MP,EZ,2,5E5 ! 設(shè)定彈性模量Ex,Ey,Ez MP,NUXY,2,.1 MP,NUYZ,2,.2 MP,NUXZ,2,.3 ! 設(shè)定泊松比υyx,υzy,υzx MP,GXY,2,2.5E5 MP,GYZ,2,2.5E5 MP,GXZ,2,2.5E5 ! 設(shè)定剪切模量Gxy,Gyz,Gxz MPLIST,1 ! 列顯材料的數(shù)據(jù) |
圖5：正交各向異性材料參數(shù)輸入后軟件的顯示結(jié)果
第三：Anisotropic：各向異性彈性性能參數(shù)。以下命令流中的數(shù)值僅為參考值。
| /PREP7 ! 采用<TB>/<TBTEMP>/<TBDATA>的ANEL方式設(shè)置材料3(不考慮溫度變化) TB,ANEL,3,,,1 ! 設(shè)定材料3為各向異性,并用彈性系數(shù)矩陣 TBDATA,1,.5E-5,-.25E-6,-.6E-6 ! 從第1項(xiàng)開始設(shè)置數(shù)據(jù) TBDATA,7,.25E-5,-.4E-6,,,,.2E-5 ! 從第7項(xiàng)開始設(shè)置數(shù)據(jù) TBDATA,16,.4E-5,,,.4E-5,,.4E-5 ! 從第16項(xiàng)開始設(shè)置數(shù)據(jù) TBLIST,ANEL,3 ! 列顯各向異性材料的數(shù)據(jù) |
圖6：各向異性材料參數(shù)輸入后軟件的顯示結(jié)果
另外，熱分析中需要定義隨溫度變化的熱導(dǎo)率參數(shù)，熱應(yīng)力間接耦合法分析時(shí)先定義材料的熱導(dǎo)率求解溫度場，然后進(jìn)行由熱到結(jié)構(gòu)的單元類型的轉(zhuǎn)換，定義與溫度相關(guān)的材料的彈性模量和泊松比以及熱膨脹系數(shù)參數(shù)。
定義不同溫度下材料的熱導(dǎo)率，命令流如下（以材料N06625為例）：
| /prep7 et,1,solid70 MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,20 MPTEMP,2,50 MPTEMP,3,100 MPTEMP,4,150 MPTEMP,5,200 MPTEMP,6,250 MPTEMP,7,300 MPTEMP,8,350 MPTEMP,9,400 MPTEMP,10,450 MPTEMP,11,500 MPTEMP,12,550 MPDATA,KXX,1,,9.8*1E-3 MPDATA,KXX,1,,10.2*1E-3 MPDATA,KXX,1,,10.9*1E-3 MPDATA,KXX,1,,11.7*1E-3 MPDATA,KXX,1,,12.4*1E-3 MPDATA,KXX,1,,13.2*1E-3 MPDATA,KXX,1,,13.9*1E-3 MPDATA,KXX,1,,14.7*1E-3 MPDATA,KXX,1,,15.4*1E-3 MPDATA,KXX,1,,16.1*1E-3 MPDATA,KXX,1,,16.9*1E-3 MPDATA,KXX,1,,17.6*1E-3 !N06625材料的熱導(dǎo)率ASME II-D P769頁 |
圖7：熱分析時(shí)熱導(dǎo)率參數(shù)的輸入
或者
ET,1,PLANE77 KEYOPT,1,3,1 MPTEMP,1,20,100,150,200,250,300 MPTEMP,7,350,400,450,500,550 MPDATA,KXX,1,1,41*1E-3,40.6*1E-3,40.4*1E-3,40.1*1E-3,39.5*1E-3,38.7*1E-3 MPDATA,KXX,1,7,37.8*1E-3,36.8*1E-3,35.8*1E-3,34.8*1E-3,33.9*1E-3 !屬性一：SA387 Gr12 （15CrMoR及鍛件）的導(dǎo)熱系數(shù) !!!!!!!!機(jī)械場分析!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!重新進(jìn)入前處理!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! /PREP7 ETCHG,TTS KEYOPT,1,3,1 mptemp,1,21,38,93,149,204,260 mptemp,7,316,371,426,482,538 mpdata,ex,1,1,2.068e5,2.055e5,2.027e5,1.993e5,1.965e5,1.937e5 mpdata,ex,1,7,1.903e5,1.875e5,1.841e5,1.806e5,1.772e5 mpdata,prxy,1,0.3 !N06625材料的彈性模量與泊松比 MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,21 MPTEMP,2,38 MPTEMP,3,93 MPTEMP,4,149 MPTEMP,5,204 MPTEMP,6,260 MPTEMP,7,316 MPTEMP,8,399 MPDATA,ALPX,1,,12.06*1E-6 MPDATA,ALPX,1,,12.24*1E-6 MPDATA,ALPX,1,,12.78*1E-6 MPDATA,ALPX,1,,12.96*1E-6 MPDATA,ALPX,1,,13.14*1E-6 MPDATA,ALPX,1,,13.32*1E-6 MPDATA,ALPX,1,,13.32*1E-6 MPDATA,ALPX,1,,13.5*1E-6 !N06625材料的熱膨脹系數(shù) |
B：極限載荷法中的本構(gòu)模型：
采用的彈性-理想塑性本構(gòu)模型。
雙線性等向強(qiáng)化（BISO）：命令流如下：
| TB,BISO,1,1,2, !雙線性等向強(qiáng)化----彈性斜率與塑性斜率 TBTEMP,150 TBDATA,,183*1.5,,,,, !極限載荷法---彈性-理想塑性模型!強(qiáng)化模量為0 |
圖8：雙線性等向強(qiáng)化參數(shù)輸入后軟件的顯示結(jié)果
雙線性隨動(dòng)強(qiáng)化（BKIN）：命令流如下：
| TB,BKIN,1,3 !材料1----雙線性隨動(dòng)強(qiáng)化 TBTEMP,20,1 TBDATA,1,315,2.09E4 TBTEMP,500,2 TBDATA,1,212,1.72E4 TBTEMP,800,3 TBDATA,1,153,1.33E4 |
圖9：雙線性隨動(dòng)強(qiáng)化參數(shù)輸入后軟件的顯示結(jié)果
等向強(qiáng)化與隨動(dòng)強(qiáng)化區(qū)別：
如果材料在一個(gè)方向屈服強(qiáng)度提高（強(qiáng)化）在其它方向的屈服強(qiáng)度也同時(shí)提高，這樣的材料叫等向強(qiáng)化材料。形象比喻：吹氣球。
如果材料在一個(gè)方向的屈服點(diǎn)提高，其它方向的屈服應(yīng)力相應(yīng)下降，比如拉伸的屈服強(qiáng)度提高多少，反向的壓縮屈服強(qiáng)度就減少多少，這樣的材料叫隨動(dòng)強(qiáng)化材料。形象比喻：捏氣球。
具體用那種強(qiáng)化模型要看你的材料是那種材料。如果你只是單向加載，（即沒有加載到屈服，卸載，再反向加載到屈服）兩種材料模型的效果是一樣的。
C: 彈塑性分析法中的本構(gòu)模型：
采用的塑性本構(gòu)關(guān)系----增量理論，輸入材料的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線求解。真實(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的獲得需要依據(jù)Asme VIII-2 附錄3-D所提出的考慮材料塑性應(yīng)變強(qiáng)化的本構(gòu)模型，只要知道材料的屈服強(qiáng)度、抗拉強(qiáng)度、彈性模量及斷后延伸率（標(biāo)準(zhǔn)保證值和實(shí)測值），就可以獲得材料的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線，用于彈塑性分析的有限元數(shù)值求解中。這需要編程實(shí)現(xiàn)。 真實(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線程序如圖9所示。
圖10：材料的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線程序
多線性等向強(qiáng)化（MISO）：命令流如下：
| TB,MISO,1,1,13 tbtemp,20 TBPT,,0.000315,E*0.000315 !曲線的第一個(gè)點(diǎn)必須與材料彈性模量相對(duì)應(yīng); !不允許有大于彈性模量或小于零的斜率段 TBPT,, 0.001687, 170 TBPT,, 0.002902, 200 TBPT,, 0.005249,230 TBPT,, 0.010116,260 TBPT,,0.019603,290 TBPT,,0.03262,320 TBPT,,0.045473,350 TBPT,,0.058066,380 TBPT,,0.071604,410 TBPT,,0.086723,440 TBPT,,0.103685,470 TBPT,,0.122628,600 tbplot,miso,1 !繪制材料1的miso曲線 |
圖11：多線性等向強(qiáng)化參數(shù)輸入（應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)）后軟件的顯示結(jié)果
圖12：多線性等向強(qiáng)化材料的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線
MISO可以使用多線性來表示使用Von Mises屈服準(zhǔn)則的等向強(qiáng)化的應(yīng)力－應(yīng)變曲線，它適用于比例加載的情況和大應(yīng)變分析。
但是，應(yīng)用這個(gè)模型有兩點(diǎn)是應(yīng)當(dāng)注意的：
1、曲線的第一個(gè)點(diǎn)必須與材料彈性模量相對(duì)應(yīng)；
2、不允許有大于彈性模量或小于零的斜率段。
多線性隨動(dòng)強(qiáng)化（MKIN）：命令流如下：
| sts1=173 !應(yīng)力 stn1=0.002111 !應(yīng)變 sts2=187 !應(yīng)力 stn2=0.002732 !應(yīng)變 sts3=201 !應(yīng)力 stn3=0.003533 !應(yīng)變 sts4=215 !應(yīng)力 stn4=0.004542 !應(yīng)變 sts5=229 !應(yīng)力 stn5=0.005758 !應(yīng)變 sts6=243 !應(yīng)力 stn6=0.007117 !應(yīng)變 tb,mkin,1 !多線性隨動(dòng)強(qiáng)化 ---輸入真實(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線 tbtemp,,strain tbdata,,stn1,stn2,stn3,stn4,stn5,stn6 tbtemp,, tbdata,,sts1,sts2,sts3,sts4,sts5,sts6 tbplot,mkin,1 !繪制材料1的mkin曲線 |
圖13：多線性隨動(dòng)強(qiáng)化參數(shù)輸入（應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)）后軟件的顯示結(jié)果
圖14：多線性隨動(dòng)強(qiáng)化材料的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線
第一部分完成，未完待續(xù)。。。。。。