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伯努利方程Bernoulli equation

時間：2020-03-01 來源：網(wǎng)絡 瀏覽：
流體宏觀運動機械能守恒原理的數(shù)學表達式。1738年瑞士數(shù)學家D.伯努利在《水動力學──關于流體中力和運動的說明》中提出了這一方程。它可由理想流體運動方程（即歐拉方程）在定態(tài)流動條件下沿流線積分得出；也可由熱力學第一定律導出。它是一維流動問題中的一個主要關系式，在分析不可壓縮流體的定態(tài)流動時十分重要，常用于確定流動過程中速度和壓力之間的相互關系。
　　方程的形式 　對于不可壓縮的理想流體，密度不隨壓力而變化，可得：
　　　　　　　

式中Z為距離基準面的高度;p為靜壓力;u為流體速度;ρ為流體密度;g為重力加速度。方程中的每一項均為單位質量流體所具有的機械能，其單位為N·m/kg，式中左側三項，依次稱為位能項、靜壓能項和動能項。方程表明三種能量可以相互轉換，但總和不變。當流體在水平管道中流動時Z不變，上式可簡化為：
　　　　　　　　

此式表述了流速與壓力之間的關系:流速大處壓力小，流速小處壓力大。
　　對于單位重量流體，取管道的1、2兩截面為基準，則方程的形式成為：
　　　　　

式中每一項均為單位重量流體的能量，具有長度的因次，三項依次稱為位頭、靜壓頭和動壓頭（速度頭）。
　　對于可壓縮理想流體，密度隨壓力而變化。若這一變化是可逆等溫過程，則方程可寫成下式：
　　　　　

若為可逆絕熱過程，方程可寫為：
　　　　

式中γ為定壓比熱容cp和定容比熱容cV之比，即比熱容比，也稱為絕熱指數(shù)。
　　對于粘性流體，流動截面上存在著速度分布，如用平均流速ū表達動能項，應對其乘以動能校正系數(shù) α。此外，還需考慮因粘性引起的流動阻力，即造成單位質量流體的機械能損失hf，若在流體流動過程中，單位質量流體又接受了流體輸送機械所做的功W，在這些條件下，若取處于均勻流段的兩截面1和2為基準，則方程可擴充為：
　　　

α 值可由速度分布計算而得， 流體在圓管內作層流流動時 α=2；作湍流流動時， α≈1.06。
　　方程的應用 　伯努利方程闡明的位能、動能、靜壓能相互轉換的原理，可用來分析計算一些實際問題，例如：
　?、儆嬎懔黧w從小孔流出的流速　設在容器中盛有液體，液面維持不變，距液面下h處的容器壁面上開有一小孔，液體在重力作用下自小孔流出。據(jù)伯努利方程可以計算出液體由小孔流出時的平均流速為：
　　　　　　　　

式中Cd為孔流系數(shù)，其值由實驗確定，約為0.61～0.62；g為重力加速度。由上述速度及已知的小孔面積，可算出通過小孔的流量；或由這一關系，計算確定達到一定流量所必須維持的液面高度。若氣體在一定壓力差作用下由容器壁上的小孔流出，當速度不過大時，可視為不可壓縮流體，其流量也可以利用伯努利方程來估計。
　?、诋呁泄堋≡O均勻氣流以等速uo繞過某物體流動，氣流受阻后在物體前緣（A處）停滯，形成駐點（圖1），

圖1

該點處的壓力稱為駐點壓力pA。若未受擾動的某點O壓力為po，由伯努利方程可得
　　　　　　　　

測出pA與po的差值，即可算出流速uo。據(jù)此原理計設的測速裝置，稱測速器，又稱畢托管。畢托管（圖2）由一個圓頭的雙層套管組成，

圖2

在圓頭中心處開有與內套管相連的小孔，內套管與測壓計的一頭聯(lián)接，以測定駐點壓力pA；在外套管側表面一定距離處，沿周向均勻地開一排與管壁垂直的靜壓孔，外套管與測壓計的另一頭相聯(lián)，以測定壓力po。根據(jù)測得的壓力差h，可計算測點處的流速。
　?、畚那鹄锕堋∮址Q文氏管(圖3)，

圖3

是一種先收縮而后逐漸擴大的管道。由于截面積有變化，流速改變，根據(jù)伯努利方程，壓力也隨之改變。量出管前與喉管處的壓力差，即可推算流量。用于測量流量的文丘里管，稱文丘里流量計。又由于文丘里管喉部形成高速氣流，會產生負壓而抽吸液體，使氣液密切接觸，用于完成氣體的洗滌、冷卻、吸收和反應等操作。用于這類操作的文丘里管稱為文丘里洗滌器。  
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