各位可能聽說(shuō)過(guò)等強(qiáng)度梁，但是你聽說(shuō)過(guò)等強(qiáng)度板嗎？回想一下，等強(qiáng)度梁上各橫截面上的最大正應(yīng)力都相等，那么等強(qiáng)度圓平板就應(yīng)該是各點(diǎn)處最大正應(yīng)力都相等。等強(qiáng)度梁將材料的性能用到了極限，所以是最節(jié)省材料的結(jié)構(gòu)。如果能得到均布載荷下的等強(qiáng)度板，那么最優(yōu)最省的圓平板解就完美解決了，從此做圓平板，朝著這個(gè)結(jié)構(gòu)方向努力，就是最佳平板。

等強(qiáng)度圓平板長(zhǎng)什么樣子呢？不妨?xí)诚胍幌拢簩?duì)于厚度和直徑比小于1/5的受均布載荷的周邊固支的圓平板，徑向和周向應(yīng)力按如下公式分布：

最大應(yīng)力在板上下表面，

只計(jì)算下表面。得：

看到了嗎？在中間部分它是一個(gè)橢圓。

此為一個(gè)雙曲線線方程。兩個(gè)方程的曲線如圖：

所以板的形狀大致為這樣~

同理按照式4，可得另一個(gè)曲線

將兩個(gè)曲線組合到一起（不要問為什么這樣組合，就是這么任性，不要問我意義，NB不需要解釋~）

這種圓平板的應(yīng)力狀態(tài)是否如推測(cè)的呢？為了驗(yàn)證這個(gè)圓平板的受力特性，可以用ansys做受力分析。為了簡(jiǎn)化建模，用直線代替雙曲線（也可以ansys命令流的循環(huán)語(yǔ)句以直代曲建立近似的雙曲線模型）板的模型。

本ansys模型使用軸對(duì)稱單元plane82,邊界條件為：中心軸對(duì)稱，邊緣直線uxuy=0，下邊加載均布載荷p。

假設(shè)圓平板R為500，許用應(yīng)力σr=137.5 ，p=1MPa，泊松比0.3，彈性模量為2×105MPa按照?qǐng)A平板公式，下表面達(dá)到σr=137.5時(shí)的板厚為36.9（按公式1）。厚徑比小于1/5，符合薄板的條件。用有限元建立模型：

劃分網(wǎng)格

拐彎處

邊界條件

求解：

從上圖可以看出最大應(yīng)力出現(xiàn)的地方是R角與直線相連處的下表面，可以理解成，我們用直線代替了雙曲線，實(shí)際上是減少了板厚，削弱了，所以應(yīng)力最大的方出現(xiàn)在削弱最大處。由于前半部分橢圓是按要求做的，為了證實(shí)推測(cè)，我們可以觀察直線L4處（L4 位置見圖6）的應(yīng)力分布。

L4遠(yuǎn)離不連續(xù)區(qū)和轉(zhuǎn)角區(qū)，其上的節(jié)點(diǎn)的號(hào)碼從中心到邊緣依次為135，137，139，。。。。。。，221，在節(jié)點(diǎn)135上，總應(yīng)力為150.23，在節(jié)點(diǎn)221上，總應(yīng)力為79.8?？梢钥闯鱿嗖畋容^大。推測(cè)是由于此板并非標(biāo)準(zhǔn)的圓平板所致。為了證實(shí)推測(cè)，在模型中按比例減少長(zhǎng)半軸αθ的距離。得到表如下：

可以看出當(dāng)長(zhǎng)半軸的距離為標(biāo)準(zhǔn)的0.818倍時(shí)，直線l4上的各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的總應(yīng)力大小幾乎相同。證實(shí)了等強(qiáng)度板在r<0.83R（也就是中間83%的部分實(shí)現(xiàn)了等強(qiáng)度?。┣闆r下形狀為橢圓形?？梢灶惐炔聹y(cè)，當(dāng)R>0.83R時(shí)，其形狀應(yīng)為雙曲線。（因?yàn)檫吘壟c邊緣結(jié)構(gòu)有關(guān)，所以還有待實(shí)際證實(shí)）

結(jié)論：等強(qiáng)度圓板外形，中間部分為橢圓，邊緣部分為雙曲線。

有意思吧。