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Autocad還可以這么玩之分形

時(shí)間：2020-10-26 來源：壓力容器唯心不易瀏覽：

在壓力容器設(shè)計(jì)中，最常用的軟件就是AutoCAD了，AutoCAD除了用來畫設(shè)備圖紙，還能干什么呢？今天要介紹一下，如何用AutoCAD繪制出非常精美，精細(xì)的分形圖形。

分形圖是世界上最美妙的圖形之一，它結(jié)構(gòu)精細(xì)、反常，像是一頭怪物難以捉摸。它的每個(gè)細(xì)節(jié)與它的整體如出一轍，分形是數(shù)學(xué)中最優(yōu)美、吸引人的結(jié)構(gòu)之一。

百度一下“分形”的圖片，會(huì)出現(xiàn)大量用計(jì)算機(jī)繪制的分形彩色圖片，圖片都具有無限細(xì)節(jié)，自我復(fù)制，局部與整體相似等特性。這些圖形往往是通過簡單的函數(shù)，不斷迭代生成的，卻具有迷人的美感。

下面介紹幾種常見的分析結(jié)構(gòu)：

曼德布羅特

2010年10月14日，著名數(shù)學(xué)家、“分形幾何之父”伯努瓦-曼德爾布羅特在美國因病逝世，享受85歲。他所提出的“分形幾何”理論和出版的《大自然的分形幾何》一書，不僅僅為世人帶來一個(gè)神奇絕妙的美麗世界，而且分形幾何在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)等許多科學(xué)領(lǐng)域中都得到了廣泛的應(yīng)用，甚至對(duì)流行文化領(lǐng)域也產(chǎn)生了重要影響。

“云層不是圓形的，山不是圓錐體，海岸線不是圓圈，樹皮不是光滑的，光不是以直線傳播的。”-曼德布羅特

下圖就是一個(gè)典型的曼德布羅特集合圖

牛頓分形

牛頓分形就是分形的一種，它與解方程的牛頓法(跟優(yōu)化中的牛頓法是不同的方法)緊密相關(guān)，下面講述如何畫出牛頓分形。假如需要求解方程

其中， x 的定義域是整個(gè)復(fù)平面。如何求解這個(gè)方程的解呢？我們可以用牛頓法。牛頓法是一種數(shù)值解法，我們首先會(huì)估算一個(gè)“比較好”的初始值 x0 ，然后使用迭代公式

牛頓法可以確保，如果初始猜測值在根附近，那么迭代必然收斂。而且牛頓法是個(gè)二階方法，收斂速度相當(dāng)?shù)目?。下圖是迭代一步的示意圖

在 x1 處沿著方向

下降，與 x 軸的交點(diǎn)即為 x2 ，循環(huán)往復(fù)就能得到方程的根。

學(xué)過中學(xué)數(shù)學(xué)的我們都知道， n 次方程在復(fù)數(shù)域上有 n 個(gè)根，那么用牛頓法收斂的根就可能有 n 個(gè)目標(biāo)。牛頓法收斂到哪個(gè)根取決于迭代的起始值。根據(jù)最后的收斂結(jié)果，我們把所有收斂到同一個(gè)根的起始點(diǎn)畫上同一種顏色，最終就形成了牛頓分形圖。下圖中展示的是方程 x^3-1=0 的情形。

上圖用Autocad編制程序繪制而成。

圖中的三種顏色代表了收斂的三個(gè)根，分別為 -0.5+0.866i, -0.5-0.866i 和 1 。左上角都是紅色的，代表了如果把左上角的點(diǎn)作為牛頓法迭代的初始值，最終會(huì)收斂到 -0.5+0.866i ，左下角是綠色，代表這些初始值會(huì)收斂到 -0.5-0.866i ，右邊是藍(lán)色，代表會(huì)收斂到 1 。神奇的是，中間的三個(gè)帶狀區(qū)域，是紅綠藍(lán)交錯(cuò)的，而且無限重復(fù)自己的細(xì)節(jié)。

朱利亞分形

朱利亞集合是一個(gè)在復(fù)平面上形成分形的點(diǎn)的集合。以法國數(shù)學(xué)家加斯頓·朱利亞（Gaston Julia）的名字命名。

朱利亞集合可以由下式進(jìn)行反復(fù)迭代得到：