2013年7月川大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第50卷第4期Journal of Sichuan University (Natural Science EditionVol 50 No 4doi:103969iss.0490-6756.2013.04.022基于FFT的空間重采樣算法的性能分析賈巨庫,何培宇,張勇(四川大學(xué)電子信息學(xué)院,成都610065)摘要:空間重釆樣方法是一種不需要角度預(yù)估計的寬帶DOA估計方法,它利用相位聚焦的方法實現(xiàn)寬帶信號中不同信號子帶的信號子空間的一致.而基于FFT變換的空間重采樣算法利用傅里葉變換特性實現(xiàn)空間采樣頻率的變換,但此方法對陣元的選擇以及參考頻率的選擇等都有一定的要求,本文從陣元個數(shù)、參考頻率、子帶劃分、信號入射角度以及信號帶寬等多個方面對基于FFT空間重采樣算法進(jìn)行了全面細(xì)致的性能仿真分析,為該方法的應(yīng)用推廣、工程實現(xiàn)提供了較為有意義的參考關(guān)鍵詞:寬帶DOA;傅里葉變換;空間重采樣;性能分析中圖分類號:TN912文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:0490-6756(2013)4-0781-06The performance analysis of spatial resampling based on FFTJIA Ju-Ku, HE Pei-Yu, ZHANG Yong(School of Electronics and Information Sichuan U niversity Chengdu 610065, ChinaAbstract: Spatial resampling is a wideband direction of arrival (DOA )estimation method with no need topre-estimate the angle of incidence. It uses phase focusing to uniformize the subspaces of wideband signals sub-bands. The spatial resampling method based on FFT uses the Fourier transform to adjust thespatial resampling rate. Yet, the performance of the spatial resampling method based on FFT largely depends on such factors as the amount of array elements choice of the reference frequency, etc. A detailedperformance analy sis of the spatial resampling method based on FFT is given. This analysis is givenfrom multiple aspect, e.g. number of array elements, reference frequency, sub-band division, angles ofincidence, signal bandw idth, etc, w hich makes it a valuable reference for follow-up study and engineering implementationKey words wide-band DOA, fourier transform, spatial resampling performance analy sis引言的預(yù)估計,且最終測向結(jié)果很大程度上受到預(yù)估計結(jié)果準(zhǔn)確性的影響目前,對寬帶信號的DOA估計,主要分為有為了避免因初始方位角的估計而引入誤差,文兩類方法:基于非相干信號的處理方法(ISM)和基獻(xiàn)[1提出了廣義陣列流型內(nèi)插算法,引入了指向于相干信號處理方法(CSM).ISM算法主要問題矢量的貝塞爾函數(shù)近似表達(dá)式,從而將方向矩陣變在于計算量大,無法估計相干信號源CsM算法可換中國煤化工有關(guān),另一部分與頻率分辨相干信號源,分辨率較高,但需要進(jìn)行方向角有HCNMHG函數(shù)表示導(dǎo)向矢量時收稿日期:2012-06-11基金項目:國家自然科學(xué)基金(6作者簡介:賈巨庫(1987—),男,河北衡水,2010級碩士研究生,主要研究方向為信號處理理論通訊作者:何培宇,E-mlil:spysbsya163.com四川大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第50卷引入了誤差,而且要獲得聚焦矩陣需要在每個子帶a(內(nèi)進(jìn)行特征值分解,因此運算量很大文獻(xiàn)2道首先1cxp(-jgn)…cxp(j(M-1)gn)提出將一組陣元輸出數(shù)據(jù)看做是空間信號的離散k=1,2…,K;p=1,2…,P采樣值,以此作為空間頻率的概念,信號通過頻率映射濾波器達(dá)到空間頻率的變換,即陣元間距的變式中,gn=2ml/sin/e,4為第p個目標(biāo)的入射換,從而得到虛擬陣列輸出角文獻(xiàn)[3]同樣應(yīng)用此概念提岀了插值矩陣的方對于寬帶信號,在信號與噪聲相互獨立的條件法文獻(xiàn)[4利用FFT變換實現(xiàn)虛擬陣元間距的變下,子帶f的協(xié)方差矩陣表示為R()滿足換,文獻(xiàn)[5對文獻(xiàn)[2]和[4中的兩種方法進(jìn)行了R(A)=E X(X"(R)H比較,得出基于FFT變換的空間重采樣算法更優(yōu)A(fuR(fu)A"(f*)+ Ro(fa的結(jié)論從目前的文獻(xiàn)來看還沒有對基于FFT的式中,R(fA)=ES(f)S"(f),R()為噪聲空間重采樣算法較全面而細(xì)致的性能分析,本文從協(xié)方差矩陣參考頻率、陣元個數(shù)、劃分子帶個數(shù)、信號入射角度以及信號帶寬等多個方面對基于FT空間重采樣3空間重采樣算法進(jìn)行了全面細(xì)致的分析,以期為該方法的推廣由式(1)和式(2)可以看到,方向矩陣不僅與信和工程應(yīng)用提供較為有意義的參考號的入射角度aaG有關(guān),而且與信號的2信號模型頻率有關(guān),那么不同子帶的陣列流型隨頻率的變化而變化,這就造成了寬帶信號各子帶的信號子空間由M個陣元組成的均勻線陣,各陣元間距為不同,對單獨一個信號而言,其陣列流型中的第md,為避免相位模糊,d為入射信號最高頻率所對行第k列元素為應(yīng)波長的一半空間中有P個遠(yuǎn)場寬帶信號,占有exp((j(n-1)2dfisin0/c))相同的帶寬,其入射方向分別為a,a…,鼻,則第(4)m個陣元上接收到的信號可表示為由式(4)可以看到,要保持不同頻率處的陣列流型tn(t)s(t+(m-1) dsin a/c)+m(t)相同,需滿足dfk=C(C為常數(shù)2…,M;p=1,2…,P這樣,在不同頻率處可以得到相同的陣列流(1)型式中,s(t)為p方向入射的寬帶信號,ma(t)為加通常我們選用既定的某一參考頻率f及其實性高斯噪聲,c為波的傳播速度際物理陣元間距d的乘積作為常數(shù)C,即若將寬帶信號劃分為K個子帶,則其f處的dfk= fo do= c頻域表達(dá)式則與f頻率對應(yīng)的陣元間距可以表示為對應(yīng)頻率tm(ft)的函數(shù)S,(fk )exp(j2 Tf(m-1)dsin B/c)+ nm(L)d(fa)=d fo/fs(7)k=1,2…,K1,2……,MP0=f0/f由式(7)可得:為了使得不同的頻率子帶對應(yīng)則陣列的輸出矩陣形式可表示為相同的信號子空間,當(dāng)子帶的中心頻率壓縮p倍X(f)=x(f)x(f)…xw(f)時,所對應(yīng)的陣列間距應(yīng)擴(kuò)展p倍A(&S(f)+N(f)對于均勻線陣作Y中國煤化子果排可以將A(f)=[a(f)a(A)…a(n)同1不則,到的一組陣元數(shù)據(jù)看(f)=(f)s(f)P(f4)作對入射信號進(jìn)行了多次時域采樣.因此可以應(yīng)用A(/)是M×P維的方向矩陣,其中元素表示為信號的時域處理方法處理這組陣列接收數(shù)據(jù)4期賈巨庫,等:基于FFT的空間重采樣算法的性能分析b)a>1時,D= Round(M/a)+M,對X:()插零個數(shù)為(D-M)×N點其中 Round(·)表示取最接近的整數(shù),4)獲得虛擬陣的采樣輸出a)p≤1時,對插零后的X(f)進(jìn)行D點的逆FFT變換,直接得到虛擬輸出X(f)圖1陣列信號接收示意圖b)p>1時,對插零后的X(f)進(jìn)行D點Fig 1 Schematic of receiving array signal的逆FFT變換,并按照( Round(p)+1)間隔取行數(shù)據(jù)得到X(f);傅里葉變換性質(zhì):然后,取X(f)的前D行作為虛擬陣的采樣x(d) X(u)(8)輸出X.(f)5)利用虛擬陣列輸出,估計聚焦后的采樣協(xié)信息擴(kuò)展p倍同樣,也可以通過變換信號的頻域方差矩陣信息來實現(xiàn)其時域信號采樣率的偽變化R A2X,(F)X,(fi)這里,可將陣元接收的一組快拍數(shù)據(jù)看作入射信號的短時序列,傅里葉變換到頻域,在頻域?qū)ζ?)利用窄帶的 MUSIC算法進(jìn)行DOA估計進(jìn)行補(bǔ)零擴(kuò)展,傅里葉反變換后,實現(xiàn)了信號空間4實驗仿真采樣率的偽變化,即虛擬陣元間距的變化,如圖2所示實驗一信號入射角度對算法影響實驗條件:接收陣列是一個15陣元的均勻線陣,陣元間距為信號最高頻率對應(yīng)波長的一半,人射信號為相干信號,中心頻率為2000Hz,相對帶寬50%,快拍數(shù)N=200,劃分子帶21個,空間重采樣算法的參考頻率選擇為信號的最低頻率1500Hz,重復(fù)獨立試驗次數(shù)為30次,采樣率為40kHz噪聲為高斯白噪聲,信噪比SNR=10dB圖2空間重采樣變換后陣列示意Schematic of array af ter spatial resampling將寬帶信號劃分為K個互不重疊的子帶,每個子帶滿足窄帶信號的假設(shè),子帶中心頻率為f(k=1,2…,K),參考頻率為∫m(一般設(shè)為信號的最低頻率),為了獲得各個子帶信號子空間的致需要的陣列輸出個數(shù)D=Mf1/fm(f為信號的最低頻率),對于第k個子帶,陣列的輸出為X(f)=[X1(f),X2(f)…,X(f),那么利用FFT插值的寬帶信號方位估計步驟如下:-50-40-30-20-10010203040501)對每個子帶的采樣輸出X(f)做M點的時角度(°)FFT變換,得到X()中國煤化工2)計算當(dāng)前頻率與參考頻率的對應(yīng)關(guān)系:aCNMHG重采樣算法的影響g 3 Incident angles impact on spatial resampling3)對X:()進(jìn)行插零由圖3可知,沿陣元法線方向入射信號的估計a)p≤1時,D= Round(M/),對x()誤差最小,隨偏離法線程度的增大,計誤差逐漸插零個數(shù)為(D-M)XN點784四川大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第50卷變大,當(dāng)超過40°時,估計誤差急劇增大,因此此算法的估計角度范圍較窄,對其工程應(yīng)用范圍產(chǎn)生定限制實驗二參考頻率對算法的影響實驗條件:接收陣列是一個15陣元的均勻線陣,陣元間距為信號最高頻率對應(yīng)波長的一半,入射信號為相干信號,中心頻率為2000Hz,相對帶寬50%,入射角度分別為10°、14°,劃分子帶21個,快拍數(shù)N=200,重復(fù)獨立試驗次數(shù)為30次,采樣率為40kHz,噪聲為高斯白噪聲,信噪比SNR=10dB.空間重采樣算法采用信號最低頻1500170019002100率作為參考頻率參考頻率(Hz)圖4中平均誤差值為同一參考頻率下的三個圖4參考頻率對空間重采樣算法的影響入射信號估計角度的誤差平均值,由圖4可知,參ig. 4 Reference frequency's impact on spatial考頻率為信號最低頻率1500Hz時,均方誤差只有amp20dB,算法在參考頻率為1700Hz時,估計誤差最小,由第二部分的操作步驟可知,虛擬陣元個數(shù)D= Round(M//f),虛擬陣元D的估計與參考頻率f有關(guān),當(dāng)f/f為整數(shù)時,不存在D的近似估計,所以參考頻率f的選取對于估計的準(zhǔn)確性有一定的影響.同時,在不以信號最低頻率作為參考頻率fm時,則p>1,如果入射信號帶寬過大,且算法不以最低頻率作為參考頻率時,在進(jìn)行操作步驟中的第4步時就可能出現(xiàn)只能獲取單個采樣輸出的現(xiàn)象,即只獲取一個虛擬陣元數(shù)據(jù),就無法進(jìn)行DOA估計,因此選取高頻作為算法的參考頻率時,會對入射信號的帶寬有一定的要求,0.4應(yīng)用范圍變窄相對帶寬實驗三信號帶寬對算法的影響圖5信號帶寬對空間重采樣算法的影響實驗條件:接收陣列是一個15陣元的均勻線Fig 5 Signal bandw idths impact on spatial resampling陣,陣元間距為信號最高頻率對應(yīng)波長的一半,入射信號為相干信號,中心頻率為2000Hz,角度分實驗條件:接收陣列是一個15陣元的均勻線別為-20°、-10°、14°,快拍數(shù)N=200,劃分出的陣,陣元間距為信號最高頻率對應(yīng)波長的一半,入子帶頻率間隔為100Hz,空間重采樣算法的參考射信號為相干信號,中心頻率為2000Hz,相對帶頻率選擇為1500Hz,重復(fù)獨立試驗次數(shù)為30次,寬50%6,度分別為-20°、-10°、14°,快拍數(shù)N采樣率為40kHz,噪聲為高斯白噪聲,信噪比200,重復(fù)獨立試驗次數(shù)為30次,采樣率為40SNR=IO dBkHz,噪聲為高斯白噪聲,信噪比SNR=10dB.空圖5中,均方誤差值為同一帶寬下3個信號估間平田位是征頻率作為參考頻率計角度均方誤差的平均值,由圖5可知,在相對帶中國煤化工帶子帶劃分個數(shù)下寬為0.1時,均方誤差只有—30dB左右,相對帶3CNMH的平均值,由圖6可寬為06處,算法取得最佳估計效果,基于FFT空知,相同帶寬條件下,在子帶數(shù)為10與50處算法間重采樣算法的估計效果隨著帶寬變大而變好,當(dāng)取得最好估計效果,子帶數(shù)為20與30處,效果較相對帶寬超過一定界限時,估計效果開始變差差,由第二部分的操作步驟可知,虛擬陣元個數(shù)Dk實驗四子帶劃分對算法的影響= Round(Mf/f),從仿真條件可計算得,參考頻4期賈巨庫,等:基于FFT的空間重采樣算法的性能分析率f=1500Hz,頻帶寬度為1000Hz,當(dāng)子帶數(shù)f、fm確定后,陣元個數(shù)M變換導(dǎo)致了估計虛擬為10時,Mf/f計算結(jié)果均為整數(shù),即計算虛擬陣元D時的誤差不同,所以性能存在差別,因此算陣元個數(shù)D時不存在近似計算問題,當(dāng)子帶個數(shù)法對陣元個數(shù)也有一定的要求,并非陣元個數(shù)越多分別為20、30、40、50時,Mf/f計算所得結(jié)果中越好有小數(shù)存在,因此需要對其進(jìn)行取整處理,這就造成了D的估計誤差不同,在子帶數(shù)為20處取整時造成誤差較大,最終DOA估計效果較差,而子帶數(shù)為50處時取整造成誤差較小,則所得DOA估計效果也較好.因此,當(dāng)陣元個數(shù)以及參考頻率確定時,虛擬陣元D估計誤差的大小與各子帶中心頻率f的選取有關(guān),當(dāng)劃分子帶個數(shù)合理時,能有效減小甚至消除虛擬陣元D的估計誤差,從而提-100高DOA的估計性能140陣元個數(shù)圖7陣元個數(shù)對空間重采樣算法的影響Fig 7 Number of array eler4結(jié)論基于FFT的空間重采樣算法與CSM算法的思想相同,均為利用聚焦思想將各子帶的信號子空0.20.40.6相對帶寬間對齊后疊加,因此此算法保持了解相干的能力,同時也不需要進(jìn)行角度的預(yù)估計.空間重采樣算法圖6子帶劃分個數(shù)對空間重采樣算法的影響的有效估計范圍在-40°~40°之間,估計范圍較Fig 6 Sub-band divisions impact on spatial resampli窄,其工程應(yīng)用范圍產(chǎn)生一定限制.因為噪聲為獨實驗五陣元個數(shù)對算法的影響立的,利用時頻域變換的方法進(jìn)行原始信號的插值實驗條件:接收陣列為均勻線陣,陣元間距為估計不可避免的出現(xiàn)誤差,同時由D=信號最高頻率對應(yīng)波長的一半,入射信號為相干信Round(Mf/f)可以看出,插零個數(shù)與陣元個數(shù)、號,中心頻率為200Hz,相對帶寬50%,角度分別參考頻率以及子帶中心頻率有關(guān),且需要近似取整為-20°、-10°快拍數(shù)N=20,劃分頻率子帶數(shù),這樣也不可避免的引入誤差因此基于FFT空21個,空間重采樣算法的參考頻率選擇為150間重采樣算法對陣元個數(shù)、參考頻率、子帶劃分個數(shù)等都有一定的要求,在選擇陣元個數(shù)、參考頻率Hz,重復(fù)獨立試驗次數(shù)為30次,采樣率為40kHz,及子帶劃分?jǐn)?shù)時盡量保證計算出的虛擬陣元數(shù)噪聲為高斯白噪聲,信噪比SNR=10dB圖7中均方誤差值為同一陣元個數(shù)下3個信M為整數(shù),進(jìn)而減小誤差,在保證以上條件情況號估計角度均方誤差的平均值,由圖7可知,在低下,此算法能取得較好的估計效果陣元個數(shù)時算法估計效果較差,隨著陣元個數(shù)增參中國煤化工加,估計效果逐漸變好,且均方誤差基本保持在CNMHG[1 Doron MA, Doron E. Weiss A J Coherent wide-80dB左右,而在陣元數(shù)為16時,估計效果達(dá)到最rayJ好從計算虛擬陣元個數(shù)D= Round(Mf/f)可IEEE Trans. Signal Processing, 1993, 41: 414看出,虛擬陣元D的估計不僅與各子帶頻率∫、[2] Krolik j, Swingler d. Focused wide-band array pro-參考頻率∫m有關(guān),也與實際陣元個數(shù)M有關(guān)cessing by spatial resampling [J]. IEEE Trans AS四川大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第50卷SP,1990,38(2):33 Friedlander B, Weiss A J. Direction finding for wide[71 Debasis Kundu Modified M USIC algorithm for estiband signals using an interpolated array [J. IEEEating dOa of signals [J]. IEEE Signal ProcessingTrans Signal Processing, 1993, 41(4): 16181996,48:85[4]朱維杰,孫進(jìn)才.基于快速富式變換插值的寬帶信號[8] Prasad K p, Satyanarayana P. Fast interpolation al-方位估計[J],聲學(xué)學(xué)報,2002,27(6):513orithm using FFT [J. Electronics Letters, 1986[5]田野,趙春暉.兩種實現(xiàn)寬帶信號空間重采樣測向算法的比較[J]現(xiàn)代電子技術(shù),2008,272(9):1456]趙春暉,黃光亞,李剛.基于FFT變換的空間重采樣[責(zé)任編輯:伍少梅]寬帶Root- Music算法].應(yīng)用科技,2007,32(3):中國煤化工CNMHG