第22卷第1期工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)2005年02月CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICSFeb.2005文章編號(hào):1005-30852005)01-0167-04N重極限點(diǎn)解分支的數(shù)值分析*王賀元,徐美進(jìn),王偉志,襲著有(遼寧工學(xué)院數(shù)理系,錦州121001)摘要:對(duì)N階分歧問題極限點(diǎn)解分支的數(shù)值逼近問題進(jìn)行了研究。給出了解分支的結(jié)構(gòu)及求解分支的擴(kuò)充系統(tǒng),證明了擴(kuò)充系統(tǒng)解的存在性,討論了解曲線的數(shù)目,并給出了誤差估計(jì)關(guān)鍵詞:N重極限點(diǎn);分歧方程;數(shù)值分析分類號(hào):AMS(200065J15;47H15:58F14中圖分類號(hào):O175.29;O17791文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A1N重極限點(diǎn)處解分支的結(jié)構(gòu)及求解分支的擴(kuò)充系統(tǒng)方程奇異點(diǎn)處解的數(shù)值逼近是分歧數(shù)值計(jì)算的焦點(diǎn),文獻(xiàn)(1]討論了分歧點(diǎn)處解分支的數(shù)值逼近問題,本文討論另一類奇異點(diǎn),極限點(diǎn)處解分支的數(shù)值逼近問題設(shè)E是 Hilbert空間,G:E×R→E是非線性c3映射,考慮參數(shù)獨(dú)立方程假設(shè)點(diǎn)(u,0)∈E×R滿足(H1)Go:=G(u0,Ao)=0這里及以后的下標(biāo)0均表示相應(yīng)的函數(shù)或算子在(0,0)點(diǎn)的值(H2)DGo是指標(biāo)為0的 Fredholm算子,0為其一個(gè)代數(shù)重?cái)?shù)為N的特征值。(H3) dim(ker(Du)=N(H4) DAGo Range(D, Go在(H1)-(H3)假設(shè)下,方程(1)稱為N階分歧方程,如果條件(H4)成立,(u0,)0)稱為方程(1)的N重極限點(diǎn)。下面我們討論N重極限點(diǎn)(uo,A)處解分支的結(jié)構(gòu)及其數(shù)值逼近,所用符號(hào)D,D2,Dx,…分別代表全導(dǎo)數(shù)或相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù),由 Fredholm算子理論可知,存在p,∈E,=1,2,…,N,使得E1=ker(D2G0)=span{1,92,…,N}(9,9)=6E1= ker(D Go)=span(1, /2,., Nvi, vi)=dijE2=Range(D Go)=alue (u, api)E2= Range(D,Gt){ulu∈E(u,p)=01≤i≤N}E=E1⊕E2=E1⊕E2收稿日期:2002-11-26.作者簡(jiǎn)介:王賀元(1963年3月生),男,博士,教授,研究方向:分歧理論及其數(shù)值分析基金項(xiàng)目:國家重大基礎(chǔ)研究專項(xiàng)基金(973)(G19992801-7);遼寧工學(xué)院博士啟動(dòng)基金中國煤化工CNMHG第22卷其中D2G是DCo的共軛算子,(,)是ExE上的對(duì)偶積或內(nèi)積,⊕表示E子空間的直和。以后將用到下列符號(hào)i=DmG09;9;1≤i,j≤N=(k,9)1≤k≤Ngo= DAGoa6=(vk,9)1≤k≤N眾所周知2,并非方程(1)的所有根(u0,0)都產(chǎn)生解分支,然而孤立根卻是如此2,我們僅考慮此種情況下解分支曲線的結(jié)構(gòu)及路徑跟蹤問題引理11在(H1)-(H4)假設(shè)下,方程(1)在(o,A0)處解分支曲線具有如下形式∫u()=0+2+P,v∈B2A(t)=Aot∈T=[-to,tol這里a=(a2,a2,…,aN)∈RN,B∈R是t的函數(shù),a2y;=∑a;y;為張量記法。證明如果G(v(t),A(t)=0|≤to并且(v(0),入(0)=(0,o),在t=0處關(guān)于t求導(dǎo)得D Gou(0)+ DAGoA(0)=0由(H4)必有)=0,因此v'(0)=ta+t(t),v(t)∈E2,(t)=+ap1=09,結(jié)合(2)我們可以假設(shè)u()=20+t),t∈I=-to,tol所以有(0)=a2+v(0),X(0)=B(0)=0,因此,v(0)=0,故有t2u(t)u(t)∈EA(t)=o+tB(t)t∈I=[-to,tol證畢為尋求合適的函數(shù)v,a,B,定義如下擴(kuò)充系統(tǒng)F:E×RN×R→E×RMF(,a, B, t)≠0WN, v))Go(0)+w(0)F(,a, B,0)=FIt其中()=(t)a(t)+96(t)(0)=5qijaoao, a0=a(0), Bo= 6(0中國煤化工CNMHG王賀元等:N重極限點(diǎn)解分支的數(shù)值分析引理12如果t∈I,a(t)∈C(I,RN),B(t)∈C(I,R),那么由(5),(6)所定義的映射F(v,a,3,t)在t=0處是連續(xù)的。由此引理,我們得到下面定理定理11在(H1)-(H4)假設(shè)下,求方程(1)通過(0,A)點(diǎn)的解曲線u(t),A(t)等價(jià)于求F(va,B)=0的非平凡解(v,a,B)∈E2×RNxR。2解曲線的存在性及數(shù)目下面我們討論方程(1)通過極限點(diǎn)(uo,A0)的解曲線的存在性及其個(gè)數(shù),為簡(jiǎn)單起見這里做全局正則化≡1(局部等價(jià)于(0)≠0,首先討論Dva)F(v,a,t)((o,a)的正則性,其中ao=(ab,a2,…,a),而且要用到下列符號(hào)f&(ao, 1)=202 aao+ao, kf=[f1,f2,…,fN]其中aaab表示雙重指標(biāo)求和,下面類似符號(hào)均與此意義相同,符號(hào)Rank"02表示y0的秩,容易證明下列結(jié)論引理21設(shè)(a0,1)∈RN+1,當(dāng)Rank=B0=a2a=N,k=1,2,…,N時(shí),則DaF(,a,A,0)(m(0)a0)在ExRN上是正則的根據(jù)引理2.1及隱函數(shù)定理,我們有下列結(jié)論。定理21假設(shè)引理21的條件和(H1)(H2)成立,而且u(0)∈E,那么有常數(shù)to>0,至少存在一個(gè),至多存在2N個(gè)不同的連續(xù)向量函數(shù){(v1(t),a1(t),aN(t),t∈(-to,tol}cE21,…,,1≤l≤2N滿足(vi(t), ai(t),證明系統(tǒng)(7)是N元二次多項(xiàng)式, Bezout修正定理表明,如果(7)是非退化的,它最多有2N個(gè)解,因此系統(tǒng)(7)最多有2N個(gè)根,假設(shè)aa1(O),…,a3N(0)(=1,…,,1≤l≤2)是系統(tǒng)(7)的非零解,由于(0)∈E2,有u(0)=qmno(O)a00)+∈E2m,n=1,…,N,=1,…1,1≤l≤2其中a(0):=a1n(0),所以存在唯一的n(0)∈E2,(=1,…,l,1≤l≤2)使得DCov1(0)+u(0)=0,(i=1,…,,1≤l≤2N)顯然(n(O),a1(0),…,a(0)(=1,…,1,1≤1≤2)是F(v,a,3,0)=0的解,即(6)至少存在一個(gè)非零根(v(0),a1(0),…,aN(0),由引理21和隱函數(shù)定理,存在to>0和唯一映射((),a1(),…,aN():{-t0,to→E2×RN,使得F(u(t),a1(t),……,aN(t),t)=0,t∈[-to,tol因此至少存在一個(gè),至多存在2N個(gè)不同的連續(xù)向量函數(shù){(v1(t),ai1(t),…,aN(1),t∈[-to,tl}cE2×RN,i=1,…,,1≤l≤2滿足F(v(t),aa1(t),…,aN(t),t)=0中國煤化工CNMHG第22卷證畢所以我們有下列結(jié)論推論21如果定理21的假設(shè)成立,方程(1)至少存在一個(gè),至多存在2N個(gè)如下形式的不同解曲線相于(o,o)ui(t)=wotap+tvi(t)入(t)=A0∈[-to,to],這里a2=a;°參考文獻(xiàn):[1 Mei Zhen. Numerical approximation of simple corank 2 bifurca tion problem[D]. Doctorate dissertation,of Marburg. 1999: 83-872 Dwight W. Decker, Multiple limit point bifurcation[J]. Journal of mathematical analysis and applications,1980:75:417-4303 Bouligaand G. Revue Gener, Sc Pur Appl, Bull Soc Philomath, 1984: 55Numerical Analysis of Solution Branches of Multiple Limit PointWANG He-yuan, XU Mei-jin, WANG Wei-zhi, XI Zhu-youDepartment of Mathematics and Physics, Liaoning Institute of Technology, Jinzhou 121001Abstract: Numerical approximation of solution branches for multiple limit point is discussed, structionof solution branches and the extended system at multiple limit point are given, existence of solutionfor the extended system is proved, number of solution curves is given, error estimate is presentdKeywords: multiple limit point; bifurcation equation; numerical analys中國煤化工CNMHG