第34卷第1期數學進展Vol 34. No. 1005年2月ADVANCES IN MATHEMATICSFeb.2005靈活的應用數學技術楊德莊(中國科學院研究生院,華羅庚應用數學與信息科學研究中心,北京,10039)摘要:E.E.Davd指出“當今被稱頌的高技術實質上是一種數學技術",H. Neunzert稱《數學是關鍵技術的關鍵”.這是人類對數學的新認識一數學既是科學又是技術,數學技術主要是指應用數學技術.它的高難度突出地體現在以解決實際問題為目標的研究上.這就必須靈活地運用數學思想和方法,抓住事物內在最本質的數學結構,提煉其特殊的數學模型,給出精巧的好算法并解決之,本文簡述了華羅庚應用數學技術的特色、近期發(fā)展及其某些思想與新概念等關鍵詞數學技術;靈活性;模型算法一體化;更動目標約東法;模式元MR(1991)主題分類:00B25/中圖分類號:O129文獻標識碼:A文章編號1000917(2005)01-0001-161數學技術—一種新觀點人類對數學的認識,最初認為是一門學科,后來稱其為數學科學.20世紀下半世紀,隨著數學內部各分支之間相互滲透,尤其是應用數學在數學外部世界的蓬勃發(fā)展,數學的思想、方法嵌入到各種科學技術領域中,以及經濟、軍事、社會發(fā)展的各個方面.人們看到數學也是一種技術.這是人類對數學的更深層次的認識—數學既是科學又是技術.20世紀最后25年,人類對數學的這種新認知加深了. H. Neunzert指出:“數學是關鍵技術的關鍵”.E.E.Davd的名言是:“當今被如此稱頌的高技術本質上是一種數學技術”M. Atiyah也將純粹數學中的一些理論和技巧稱為數學技術.數學技術的提法是20世紀最后25年人類對數學認知的新觀點2觀點的重要性及其導向作用人類對數學的認識,是在人類實踐活動的歷史長河中逐步深入的,不同時期有不同的主流觀點.一種觀點在某個歷史時期形成,它就會被一些人群接受,引導他們按這種觀點去思考、去理性地演繹、去處理數據、去觀察、去創(chuàng)造.這是一個傳播與發(fā)展的過程.觀點的導向作用是很大的,人們往往會不知不黨地被卷入到某種觀點所形成的潮流之中.正確的觀點總是重要的,它會影響整體數學的發(fā)展一般說來,一種觀點總有其相對真理部分,它的導向也必有其積極作用的一面,當然也會有它的負面的影響.比如,1900年 Hilbert提出的“23個問題”,就是他匯總了某些前人的視點,加上他本人的感悟,形成的一種對數學本質及其今后發(fā)展的觀點起初,人們并不怎么理解,慢慢地它被一些人所接受.如 Bourbaki學派,形成了一種思潮. Hilbert的數學觀點影響了20世紀的數學發(fā)展,特別是20世紀上半世紀的數學發(fā)展.其積極的促進作用,是人們容易看到的.但也有負面影響,這是人們不易覺察的.20世紀下半世紀,情況發(fā)生了很大變化,主要原因是二戰(zhàn)后,應用數學的興起和計算機中國煤化工,人們看到核心收稿日期12-20CNMHG基金項目:中國高技術研究和發(fā)展項目(863項目)3TNet資助(No.2002AA103061);國家自然科學基金(No.60241006)數學進34卷數學的發(fā)展之外,應用數學和計算機技術得到突飛猛進的發(fā)展.今天,我們談起數學,都會著重地提核心數學、應用數學和計算機技術的互動作用.20世紀末,數學整體發(fā)展水平已達到一個新的境界.且不提過去一個世紀中社會因素對數學整體發(fā)展的作用,僅就數學界來講,諸多數學家的數學觀點,以及起主導作用的數學團隊(他們可能散布在世界各地)的勤奮工作,都對世界整體數學發(fā)展做出了貢獻,其中不能不提到馮·諾伊曼的貢獻.他不但是一位世界一流的純粹數學家,也是世界一流的應用數學家和現代計算技術的倡導者和奠基人.他可算是20世紀對人類社會、經濟、生活影響最大的數學家.他的數學觀點,來自他對純粹數學、應用數學和計算機技術發(fā)展的全面思考,他對應用數學的推動以及他卓有遠見的發(fā)展電子計算機的思想,已結出豐碩果實,還要在本世紀發(fā)揮他的影響力.馮·諾伊曼的數學觀點,對20世紀的應用數學和計算技術的發(fā)展起到積極的導向作用,而應用數學和計算技術的發(fā)展自然導致數學技術提法的出現3應用數學技術數學既是科學又是技術,數學技術這種提法,本身是一種觀點,這種數學技術主要是指應用數學技術人們把數學分為純粹數學和應用數學,但這只是一種大致的分法,有時很難把某一分支或某一方向歸屬于純的,還是應用的.事實上,時至今日,人們也沒有說清楚什么是數學?什么是應用數學?但是數學工作者總要大體上把握它們,必須有一種觀點理解它們,認識它們,因為只有這樣,才知道自己該做什么和怎么做什么是應用數學?在數學界有許多不同的觀點a, M. Atiyah在回答“什么是數學”時說“很困難,一種可能的回答是數學是解決‘向題的各種思想與智力技巧的集合體”.他強調“問題的作用”.純粹數學中,如費馬大定理、哥德巴赫猜想等等,吸引了許多數學家對這些問題的研究,在他們奮力解決這些問題的過程中,引進了許多新的技巧與概念,這些新的技巧與概念滲透到許多數學分支之中,推動了數學的創(chuàng)新,增強了美學成分,促進了數學的進步.這是來自數學內部的問題, Hilbert的23個問題正是如此M. Atiyah認為“問題”在數學發(fā)展中起關鍵作用如果“問題”是源于數學世界的外部,這些外部問題對數學產生刺激,也會吸引許多數學家去研究它.有時,這些問題可在已有的數學框架內處理,此時人們的任務是找出適用的工具以便求得解.一般說,這是數學的應用.它也給數學帶來活力.特別地,如果這種“問題”的解決具有重大的經濟與社會效益,那將是數學對人類社會的貢獻,很有意義.然而,經常發(fā)生的情況是必須創(chuàng)造一個新的數學框架,其中的新概念反映了真實世界中被研充的現象.這是難度很大的創(chuàng)新研究.這就是應用數學.數學通過與“外部問題”的作用,在深度與廣度上得到了發(fā)展.這種研究不但具有重大的經濟與社會效益,而且具有很高的學術價值.這是非常有意義的研究P.Lax在論述“應用數學在美國的蓬勃發(fā)展”時,列出了應用數學在美國最有成就的幾個領域:流體力學、計算流體力學、數學物理,以及二次大戰(zhàn)后誕生的一些全新的應用學科,如對策論、控制論、線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、整數規(guī)劃和運籌學的其他分支,等等,這些學科總的目的是最優(yōu)化.P.Lax強調純粹數學與應用數學的共性和分組成一個有機的整體數學的發(fā)展,應該是整體數學中國煤化工榨數學的各個部CAMH數學的一個最重要聯(lián)系在于智力方面.PLax還強調應用數學發(fā)展的環(huán)境的重要性.是什么使得在20世紀美國的應用數學得到蓬楊德莊:靈活的應用數學技術3勃發(fā)展的?也許最重要的因素是戰(zhàn)爭.戰(zhàn)爭需要應用科學加速發(fā)展,而應用數學則是應用科學的核心部分.戰(zhàn)后,經濟和社會發(fā)展又促進了應用數學的發(fā)展他建議“年輕數學家到應用數學的某些分支去一試鋒芒.那里是藏著許多深奧問題的金礦,其解決有待于概念和技術上的突破.它向你展示各種方面,可以適合各種不同的口味;同時也為數學家提供了一個成為科技大企業(yè)一員的機會”,這雖然是1988年說的,今日聽起來仍很新穎C.C.Lin(林家翹)認為純粹數學是在某些公理基礎上研究數學定理.它可以獨立于其他理論科學的方式發(fā)展.應用數學是數學與其他科學的相互依存的部分.他強調的是數學與其他科學領域的關系.應用數學的目的在于運用數學來闡明科學概念和描述科學現象華羅庚提出了應用數學的分類觀點.這種分類觀點不但避免了關于什么是應用數學的某些爭論,而且對于每個在應用數學領域里耕耘的數學工作者,更能明確自己的方向和位置.由于在不同方向和不同位置上的工作,有不同的評價標準,這種分類觀點也減少評價上的不公正和非議,至少應用數學工作者自己心中有桿秤,不管他人怎么看,自已的份量自己心中有數這有利于調動搞應用數學人的積極性和各類型應用數學隊伍的形成華羅庚把應用數學大致分成三類.一類是應用數學的基礎理論研究,這類研究與純粹數學研究在思想與技巧上沒有本質差別.差別在于問題的來源不同,純粹數學問題多數來源于數學內部,而應用數學問題多數來源于數學的外部,在研究的動力(目的)和美學觀點上也有差異.另類應用數學研究是數學與別的學科領域的交叉,相互滲透、互相促進,以揭示該學科中重要的數學結構和解決有關問題為目的.第三類應用數學研究是面向國民經濟系統(tǒng)、軍事系統(tǒng)和社會發(fā)展系統(tǒng),以解決這三大系統(tǒng)中提出的現實問題為目標.他認為這三類研究都很重要,都有很好的前景.在當今之中國,這三類研究力量最弱的是第三類,而我國的發(fā)展急需大量的這類研究.因此他主張大力發(fā)展第三類研究,以形成中國應用數學的特色.目前在中國,這一方向已形成應用數學的一個學科,中國科學院華羅庚應用數學與信息科學研究中心,正是這個學科的一個重要的工作站華羅庚確定他領導的中國應用數學的主攻方向是如上所述的第三類研究.因為第一、二類的研究與純粹數學研究在思想和方法上比較相近.早在二次世界大戰(zhàn)期間華羅庚就在中國倡導應用數學.在昆明西南聯(lián)合大學任教期間,他提出了發(fā)展中國數學的藍圖,其中除純碎數學外,對于計算數學和應用數學的構思,在當時的國際數學界的領袖數學家中,也是不多見的.在華羅庚倡導應用數學之后,就有一批原來在純粹數學領域的數學工作者轉到這些方向上來.他們中的多數都取得了不錯的成績.第三類研究具有特殊的難度,首先,它的“問題”來自數學外部,是從經濟、軍事和社會發(fā)展三大系統(tǒng)中提出來的“問題”,這種“問題”出現在人們面前時還僅僅是一種自然語言的描述,還遠不是一個數學問題.把它變成數學問題,需要經過提煉.難度首先就出在這種對“問題”的數學提煉與加工上.數學修養(yǎng)不同的人,對同一個“問題”的提煉與加工的結果也不同.即使兩者都是“高手”,由于他們可能站在不同角度觀察同一個“問題”,其結果也不一樣.這種把實際“問題”提煉加工成數學問題,通常稱之為數學建模.這種建模的成功還依賴于能否找到恰如其分的數學概念與表達形式,以及隨后能否找出合適的分析與求解的有效技巧.在這種抽象過程中,簡單性( simplicity)與中國煤化工重要性還應當著重指出,不是所有的實際問題都可以用現有的數學CNMHG一切“問題都是數學問題,但是把一個活生生的現實“問題”變成數子問匙,做匙米個谷易的,變成比較“好”的數學問題,就更難了數學進展34卷以往在數學社會里,人們往往看重純粹數學問題,而輕視從實際中提取出來的數學問題;有的認為純粹數學面對的問題需要高智力的勞動,而應用數學面對的實際問題的研究則不需要20世紀下半世紀至今的應用數學的發(fā)展,向人們展示了應用數學研究的重要性,也向人們展示了它的高深和難度,應用數學問題的解決同樣需要高智力的勞動.在世界高速發(fā)展之今日,人們更清楚地看到了在自己探索著的社會、經濟、科技等領域中,特別是高新技術領域中,遇到的種種實際問題,都有其數學結構,對這些實際問題的數學結構的認知正是解決該問題的關鍵.高技術實質上是一種數學技術4靈活性十洞察力我們常?？吹綄σ粋€著名數學家的評價,特別對 Fields獎得主的評價:“深刻的洞察力”靈活處理問題的技巧”、“令人驚嘆”.這是對搞純粹數學和應用數學的理論研究的高度評價實際上,對于面向實際問題、以解決實際問題為目標的應用數學技術的研究也應當有這種評價一般說來,對某個問題的研究,洞察力是第一位的本節(jié)小標題,“靈活性+洞察力”,把“靈活性”放在前頭,表明了我們的一種觀點,說明在面向實際問題的應用數學技術研究中,靈活性的絕對重要性.這是因為(1)面對活生生的實際問題,人們的洞察力與靈活性是交融在一起的.活生生的實際問題可被人們從多角度靈活觀察.洞察力寓于靈活性之中(2)用應用數學技術解決實際問題,首先是把實際問題變成數學問題,即建模,在建模過程中是不允許改條件的(這與理論研究不同,改了條件就不是這個實際問題了.但是,它允許從不同角度,用不同觀點審視它,可以建立各種不同的模型,而這些模型的求解難易程度不同.靈活性在這時的體現就是,你可以從諸多角度建立模型的思考中,選擇一種能嵌入簡單易解算法的模型.這就需要全面地調查研究實際問題的各個方面,進行細致的系統(tǒng)分析,靈活性貫穿這種活動的全過程(3)當選定某個視角建成模型之后,也還允許不失去本質的“更動”,一種實際意義下的“等價變動”.這種小更動,也許會帶來驚人的實效,嵌入一個簡單的算法,這又是靈活性的體現.4)實際問題經過(2)的靈活建模,或許又經過(3)的“更動”思考,可能仍只是建成了個極難解的數學模型.此時,“死攻”已建好的模型去求解,是不可取的,靈活、遷回戰(zhàn)術值得提倡.因為我們的目標是解決實際問題,而不是對已建的模型的求解能力比高低(5)實際問題的解決是有時間要求的,它不允許象對待純粹數學中的猜想那樣慢慢地探索,步步地推進,這個進程可以是幾十年,甚至是一個世紀或幾個世紀.實際問題在某個時段內得不到解決,問題的性質就變了.所以,這必須有靈活處理的技巧.(6)在某時段內,實際問題得到解決,將產生一定的效益(經濟的與社會的).得不到解決,損失也是很大的,因此衡量(評價)這種應用數學研究的標準是效益+學術水平(⑦)任何實際問題的求解過程,都只是近似逼近,我們只能求得“較好”的或“滿意”的近似解202年 Nevanlinna獎得主 Madhn Sudan的r中國煤化工來說,逼近最優(yōu)解和尋找最優(yōu)解一樣困難.這就給靈活處理這些實際片CNMHG(8)凡技術就有 Known-How,應用數學技術的 Known-How的嚴生要幕對實際問題的敏銳數覺(數覺是小平邦彥的提法),靠靈活的觀察、靈活的思路、靈活的技巧以及形成新的概念1期楊德莊:靈活的應用數學技術5靈活的應用數學技術的幾個思想與方法華羅庚40年代倡導應用數學,50年代末開始探索應用數學,通過60-70年代試點普及與推廣應用數學方法的階段,他逐步明確了自己的應用數學分類觀點.與此同時,他也確定了他的主攻方向一面向實際問題、以解決實際問題為目標的應用數學技術研究.由于他在普及推廣應用數學技術一“雙法”(統(tǒng)籌方法、優(yōu)選法)上花費了太多時間(將近20年),在他剛要在這個方向上開展創(chuàng)造性研究的時候,在“戰(zhàn)場”上倒下了.現在“中國科學院華羅庚應用數學與信息科學研究中心”(簡稱華羅庚中心)正是沿著這個學科方向開展工作的我們總結了華羅庚教授的應用數學思想、觀點和方法論特色,以及具體的方法技巧,開展了面向實際問題、以解決實際問題為最終目標的深層次應用數學技術研究,在經濟、軍事、社會發(fā)展以及信息科學與技術等領域取得了一些成果.這些成果的取得都與“靈活的思想與技巧”密切相關(1)模型算法一體化思想這種思想要求對實際問題有深刻的了解、透徹的分析,靈活地抓住問題的特殊性,建立含有特殊算法的特殊模型,“模型寓于算法,算法嵌入模型”.達到這種境界必須有很高的靈活性和創(chuàng)造性.實例見§6例案1,7(2)更動目標、更動約束思想這種應用數學技術主要是針對最優(yōu)化數學問題的,最優(yōu)化數學問題包含兩大要素:目標函數與約束條件.實際問題往往非常復雜,只有對其了解、分析透徹,才可以走模型算法一體化的途徑,否則,就不能達到這種高度模型既不失真,又要有特殊算法嵌在其中,這非常難!因此一般來說,只能按自己認為最好的方式去完成建模.之后,還要進一步研究求解的算法.此時有兩條路子,其一是循規(guī)蹈矩的數學化研究;其二是靈活的數學變換轉化,也稱其為靈活的數學化研究.它是根據問題的特性采用特殊的數學處理技巧:適當地改變其目標函數或約束條件,既不使改變后的模型失真,又要使改變后的模型具有特殊的算法.其背景是:一個實際問題可以有很多數學模型,但這些數學模型的最優(yōu)解是一樣的.在這很多數學模型中有一類(或一個)是與自己已建立的數學模型在目標與約束上具有大致相同的形式,只在目標或約束上稍有區(qū)別.但正是這種區(qū)別,往往給我們解決問題帶來轉機,能夠形成特殊算法.更動后的數學模型達到了模型算法一體化這種更動目標函數或約束條件,或兩者同時更動的方法,我們稱之更動目標約束法.實踐證明,它是非常有效的.實例見§6例案2,3,5,7(3)二次建模思想更動目標約束法就是一種二次建模的做法.通過更動目標函數或約束條件,或兩者都更動,去尋找特殊算法,這本身就是通過修改目標或約束,進行了再次建模在許多實際問題的研究中,由于問題復雜度很高、難度很大,模型算法一體化的做法不能一下達到,更動目標約束法也難以奏效.這時,在普通建模之后,通過二次建模,抓住問題的實質及已建模型的特性,靈活處置,使再次建模的模型變得容易求解.這種思想、技巧也具有很高的智力技巧,在我們解決實際問題中也常用,也很有效實例見§6例案4(4)模式元我們在高技術領域,經濟、軍事、社會發(fā)展的復雜系HH中國煤化工CNMHG題的研究中采用模式元做變量.提出模式元概念,并用它作為變量,去建模、去求解,收到很好的效果.這數學進展34卷里的模式元概念與模式識別中的模式概念不同,也與純數學中模理論的模概念不同,它是參數變元的推廣,參數變元是最簡單的模式元模式元是復雜系統(tǒng)中某個部分或某子系統(tǒng)的結構形態(tài)(邏輯結構形態(tài)和硬件結構類型)和控制其運行的模型、算法及其關聯(lián)參數整合的有機體;或是復雜事物的某個部分的結構形態(tài)和它的功能機理以及行為特征整合的有機體.這是一個宏觀與微觀相結合的概念,也是一個定性+定量+行為特征相結合的概念,是一個某種意義下整合的概念以往人們研究一個復雜系統(tǒng)或復雜事物時,引進大量的參變量,有的多達上千萬個,這些參變量組成維數很高的空間(有時甚至是無窮維空間),給問題的研究帶來了難度模式數學的出現是應對這種挑戰(zhàn)的結果,也是人類認知的發(fā)展20世紀下半世紀,人們看到了模式科學( the science of patterns),而且認識到了“數學是模式的科學”,也就是說“數學科學不再僅僅是對數和空間的研究,它成為一門模式的科學”,“數學家在數中、在空間中、在科學中、在計算機中以及在想象中尋找模式”(L.A.Sten,也在應用中尋找模式,為了某種目的,尋找最精巧模式就是最深刻的結果.數學家研究模式、用數學理論解釋模式間的關系;函數、映射、算子,將一類模式與另一類模式聯(lián)系起來,產生一種數學結構.應用數學家則是在解決實際問題所產生的數學結構中洞察新的模式,或把對實際問題的模式洞察力,用于構建數學模型.因此,“模式可以啟發(fā)新的模式,常常產生模式的模式以上引文提到的模式是籠統(tǒng)而言的,它既可以是模式元,也可以是模式元的函數、映射、算子,或是一種數學結構.比如,控制論中從純量轉變到矩陣模式;紐結理論中紐點分類用的紐結模式,新算子類和紐結類的特點出現在紐結群上在我們的應用數學研究方向上,引進模式元,目的在于改進我們對事物的科學認知,提高解決實際問題的能力在處理實際問題時,模式元可粗可細,可大可小,小至徽觀宇宙中的粒子模式結構與運行形態(tài),大到星際宇宙中星系的結構模式與運行機理,甚至對經濟與社會問題無窮維描述的處理,都可以按照人們的不同追求目標,選擇適當的模式元,建構模式元的數學框架.在這種模式元上,可以定義相應的“運算”,形成群.比如,紐結模式上的紐結群.這樣,現代數學的最重要的基本概念,群及群理論,就可以發(fā)揮作用了.再在模式元上定義適當的映射,比如取值在實空間的實值函數,可以描述實際問題的目標函數和性能指標在最優(yōu)化問題的研究中,建立在模式元基礎上的數學技術,能更簡易靈活地處理復雜的高難度的實際問題.這是因為1)實際問題的優(yōu)化,往往是一個過程優(yōu)化.模式元能靈活地描述和處理這種過程優(yōu)化、靈活地運用最優(yōu)化原則2)實際問題往往是多層面、多目標的,模式元能靈活地描述和處理多層面、多目標的問題,靈活地運用疊加原則3)模式元包含定性分析模式、行為分析模式、數學模型與算法模式,等等,這是參數變元所無法表達的;參變元只是模式元的最簡單形式,所以模式元概念擴展了變元的內涵4)我們面向的實際問題,往往是離散型的,是離散組合型問題.模式元很適合描述這類問題,同時可以用模式元控制這類問題的大小規(guī)模,恒千求解下面用例子說明模式元概念以及如何利用模式中國煤化工在一個寬2個單位,長1000個單位的矩形中,n人AN一個單位的相互不重疊的圓?楊德莊:靈活的應用數學技術圖1(i)用參數變元描述首先,在矩形所在的平面上建立直角坐標系,如圖1;其次,我們可以一個一個地往矩形中放圓,從左至右,第讠個圓的圓心坐標為(x1,v),如果有兩圓的橫坐標x一樣,順序自上而下數,那么,最優(yōu)化數學模型為Max i3≤v≤x;≤999,ⅵa,(x1-x)2+(v-3)2≥1,≠j(i〕)用模式元描述:(a)一個圓的模式(b)兩個圓的模式(兩圓捆綁式);(c)三個圓的模式(三圓捆綁式)(d)四個圓的模式(四圓捆綁式(a)的一個圓的模式就是以上的參數變元描述,尚沒有找到有效的解法;(b)的兩個圓的模式怎么放都不好.再考察(c)的三個圓模式,最優(yōu)結構一定是捆綁式,而且是三個圓兩兩相切的一體化整合型問題簡易了,靈活了,關聯(lián)參變元也簡單,容易驗證,用這種模式最好的放法能放進2000+11個,實例見56例案1,65)研究工作方式的兩種合力前面提到面向實際問題的應用數學研究與純粹數學研究有幾個不同的特點,比如,這種應用數學研究的問題多數來自數學的外部,它有與純粹數學研究不同的研究目的和美學觀點等等這種應用數學研究與純粹數學研究的另一個不同點是:這種應用數學研究強調群體力量、團隊精神;強調多學科的交叉與綜合.這是兩種合力:團隊的群體合力和多學科的交叉綜合之合力靈活性依靠研究者個人的悟性,靈活性也依靠團隊合力和交叉綜合之合力6)十二論總而言之,我們把華羅庚應用數學的思想與方法點、創(chuàng)新觀點、模型論、算法論、方法論、辨思論、劉H中國煤化工類觀點、探索觀CNMHG論、后勁論、動力論.詳見《華羅庚的數學生涯》(科學出版社,2000數學進展34卷十二論以探索、創(chuàng)新精神為精髓,以靈活的模型論和算法論為主題,它的導向作用,引發(fā)了特殊的數學技術的新思想與技巧.如模型、算法一體化思想、更動目標約束思想、再次建模思想以及模式元概念,等等,其間靈活性起著重要作用強調靈活性,體現在十二論主要論點的方方面面,即使是分類觀點,它不僅是對應用數學總體提出分類研究的觀點,而且對于研究對象也要先進行靈活分類,然后再分類加以研究,因為不同類的事物有不同的特殊性質通過靈活、科學分類,具體問題具體分析,具體處理,才能有效地解決之.對研究對象的具體研究過程,要有靈活的、辨證思維能力(整體的思維方式、交叉綜合的思維方式,以及邏輯思維與形象思維相結合的方式)以達到模型與算法的真實,簡單,易行,有效6幾個實際案例應用數學和純粹數學一樣,它們的原理、原則、思想、概念往往比定理更重要,這是人們的認知基礎,比如加法原則、乘法原則、抽屜原則、歸納法思想、反證法思想、最優(yōu)化原理和分支定界思想,等等新的思想和新的概念的提出,對純粹數學和應用數學也是同樣地重要.M. Atiyah認為:“新的概念是數學進步的基本要素,……,從長遠來看,它們與解決困難問題或發(fā)展新技巧具有完全同等的重要性”我相信例子更有說服力下面我們通過解決實際問題的幾個例子介紹華羅庚應用數學的模型算法一體化思想、更動目標約束思想和方法,以及模式元概念的應用,以此說明靈活處理實際問題的重要性(1)新型路由器的優(yōu)化設計攻關研究1)問題的來源及背景(1)問題來自數學的外部,來自通信高新技術領域的產業(yè)界(i)美國IDG公司謀求研制世界最大吞吐量(640Gbps)的高速骨干網上核心路由器.他們已經做了大量的調研分析和有關技術準備.他們清楚地知道問題在于關鍵技術-數學技術的突破,因此,必須尋找一個應用數學團隊.他們找到“華羅庚中心”進行合作研究談判,一周后簽約,合作攻關研究立即啟動i)高速通信網絡的核心路由器是融合數學技術、計算機技術、網絡技術、微電子技術、大規(guī)模集成電路技術、光電子技術及通信技術的尖端高科技產品,它的研發(fā)水平是衡量一個國家科技水平的重要標志2)研制過程及成果華羅庚中心抽調核心團隊中的7名成員組成攻關小組從零開始(此前他們都未見過路由器)首先進行學習與溝通(向IDG派來的人員學習,同時研究有關論文、資料),然后共同研討,經過不到一年的攻關,他們運用華羅庚應用數學思想和技巧,釆用結構、模型、算法一體化的設計模式(尤其是引進模式元概念及其靈活運用),設計出高速骨干網上核心路由器的模型+算法+程序MAP= Model Algorithm + Program最后定型為50版本.吞吐量達到64Gb,時延、抖『V中國煤化工能指標都超過世界著名電信公司 Cisco,IBM, Juniper等的設計水平CNMHG3)數學技術楊德莊:靈活的應用數學技術路由器是一種工業(yè)裝置,它的功能是交換與傳輸經過它的信息流.它的重要性能指標包括吞吐量、丟包率、時延、抖動以及公平性等,還要求功耗小,造價低.這種裝置是融合多種技術特別是數學技術的復雜系統(tǒng)如何運用數學技術實現優(yōu)化設計呢?)首先,我們從兩個枧角入手:一個是視之為一個特殊的排隊網絡系統(tǒng)(般文獻大都如此;第二個視角,視之為一個特殊的多目標、多約束、多階段、多層次的組合優(yōu)化過程(i).用通常的參數變量建模的途徑,由于影響各指標的參數繁多,各種參數之間的關系錯綜復雜,模型的描述也非常復雜,不易抓住關鍵點之所在,不便在參變元上直接運用模型算法體化思想.為此(i)我們對該復雜系統(tǒng)定義了一系列的模式元,并靈活運用模式元構建這個復雜系統(tǒng)的整體數學模型.這里的模式元有的是硬件結構形態(tài)、有的是信息流的排隊、排序模式,有的是數據包運行的機理、有的是網絡結構形式,還有的是公平性的機制和參變元等等.同時對一些類型的模式元定義一種乘法(加法)運算,構成群(一般是非交換群).這樣群的理論與技術我們就可以利用了.在模式元上,再定義適當的映射(我們取與實際問題相符的實值函數).這樣我們就可以描述這個復雜系統(tǒng)了,一般說來,由這些模式元描述的復雜系統(tǒng)的全體構成森林.森林中的每棵樹表示一種設計模式(這就是模式元之模式).對每棵模式樹所反映的多目標、多約束、多階段、多層次的過程優(yōu)化問題都得到很好的描述,即它的性能指標及其他目標都通過模式元運算和定義在模式元上的實值函數及其運算得到了表達這樣,我們構建了一系列全新的數學模型,它是結構、模型、算法一體化的,多目標、多階段、多層次的優(yōu)化模型,其間嵌入了特殊的組合優(yōu)化的求解技術算法).它們包括:路由器各級高效率的排隊、排序模型與算法、高效率的優(yōu)先權和公平性處理的模型與算法、高速和高匹配率的中心調度特殊模型與算法、各級緩沖庫容量的優(yōu)化配置模型與箅法,內存優(yōu)化管理模型與算法,以及系統(tǒng)仿真模型、信號源構造模型、全局時延的馬爾柯夫鏈的分析模型和網絡分析模型以上所有模型的建立和求解的快速算法及高效實現,對研究者來說是一種挑戰(zhàn).我們采用引進模式元概念的靈活分析和處理的辦法以及華羅庚應用數學結構、模型與算法一體化的思想和技巧,進行攻關研究,獲得了成功4)研究成果具有很高的學術價值和重大的經濟、社會效益5)進入863項目繼續(xù)攻關研究本項研究得到國內外有關部門的好評,華羅庚中心面對實際問題以解決實際問題為目標的研究方向得到肯定,解決實際問題的探索精神、創(chuàng)新意識和華羅庚應用數學技術的方法論特色以及華羅庚中心核心團隊的合作攻關精神和方式都得到認可在本項攻關研究成果基礎上,我們進入了國家科技部863項目-T比特級路由器的關鍵技術攻關研究.目前已申請了兩項專利(2)移動通信無線網絡優(yōu)化研究1)問題的來源及背景問題來自數學外部、來自福建省移動通信總公司省市移動通信網絡發(fā)展十分迅速,在網絡規(guī)劃和建設時,一般都沒有能力做好優(yōu)化設計工中國煤化工可題需要在網絡運行時進行調優(yōu),即使在規(guī)劃和建設過程盡力進行了優(yōu)CNMHG通信的預測模型(如話務量預測、無線電傳播預測模型等)的不準確性,加上通信環(huán)境、地形地物及話務量等因素數學進展34卷的不斷變化,需要不斷地對網絡的各種參數設置和規(guī)劃指標進行優(yōu)化調整這就要求經常性地對網絡進行優(yōu)化,使其保持最佳運行狀態(tài),滿足廣大顧客的需求,同時,使網絡運營商獲得最大的效益福建省移動通信運營部門,認識到移動通信網絡出現的接通率問題、掉話問題、話音質量問題等等,嚴重地影響了移動通信網絡的服務質量和效益.解決這些問題,一靠大量增加設備;另一個靠數學技術,從全局的、系統(tǒng)的觀點、運用數學、運籌學、系統(tǒng)工程等優(yōu)化理論和方法,對問題進行整體描述,建立相應的數學模型,提出好的算法程序,實時地對網絡進行整體優(yōu)化調整.在此基礎上再適當調配設備,使網絡處于良好狀態(tài).華羅庚中心與福建移動通信總公司,確立“移動通信無線網絡優(yōu)化”課題進行攻關研究2)研充過程及成果華羅庚中心的研究隊伍從問題的調査研究、系統(tǒng)分析開始,弄清移動通信系統(tǒng)的物理結構,運行機理,與系統(tǒng)有關的主要參數、常規(guī)設計思路以及傳統(tǒng)的工程優(yōu)化調整的方法在此基礎上,確定了用數學技術進行優(yōu)化的思路,全局解決問題的邏輯結構與方法論,以及網絡優(yōu)化的目標經過一年的攻關研究,我們運用華羅庚應用數學思想和技巧,采用模型算法一體化和更動目標的思想與方法,分別建立了三種優(yōu)化數學模型和算法,“達到國內領先水平,填補了國內在該領域的空白”(鑒定意見).我們還運用統(tǒng)計數學技術,對系統(tǒng)采集的樣本數據進行科學的分析和處理,并對系統(tǒng)的性能指標進行診斷“診斷方法科學,對系統(tǒng)的診斷結果具有很強的說服力”(鑒定意見),與美國ADC公司在全球60多個國家150多個地區(qū)推行的軟件系統(tǒng)“ Metrica網絡性能分析系統(tǒng)”相比,該項研究的特色是在系統(tǒng)主要性能指標分析的基礎上,用數學技術建立全局的優(yōu)化數學模型進行整體優(yōu)化,而 Metrica僅有詳盡的性能分析,沒有優(yōu)化模型和優(yōu)化功能3)數學技術移動通信網絡系統(tǒng)是一個復雜的大系統(tǒng),它的優(yōu)化設計或優(yōu)化改造問題是該領域的前沿熱點。其難度不僅在于系統(tǒng)參數繁多,關系復雜,還在于系統(tǒng)的隨機性大(比如話務量分布的隨機變化大).為使系統(tǒng)能正常運行,一般都采用忙時分析法(以話務高峰期的話務量為準),以系統(tǒng)投資運營綜合效益為目標函數.這是一個最優(yōu)化問題,它的一般模型為:MaxFl(a)-F2 (a)-F3(a)h91(x)≥a1,g2(x)≥a2,9n(x)≥am,其中x=(x1,x2,…,xn)是系統(tǒng)的參變量,F1(a)是系統(tǒng)總收費,F2(x)是系統(tǒng)的投資建設費,F3(x)是維護系統(tǒng)的運營費設S(x)為第讠基站第j小區(qū)的話務量,對于中國煤化工,P2(),f3(a)基本上是確定的,因此用 min max si(a)更替原HCNMHG為min max Si(a)楊德莊:靈活的應用數學技術g1(x)≥st.()gm(x)≥am,與原模型在“實際意義上”是等價的看來問題更復雜了,理論上求解 min max S(x)非常困難!但是,我們根據該實際問題的特點,在這個更動模型中嵌入一個很好的算法.它是一個層上層,套中套的疊加優(yōu)化迭代算法首先通過伸縮基站小區(qū)管轄半徑參數變元的迭代算法,再變換覆蓋模式元及切換模式元,以求更深層次的優(yōu)化.數學技術的應用還反映在統(tǒng)計數學技術對網絡系統(tǒng)的性能指標的樣本數據的處理分析上,科學的統(tǒng)計數學分析,給出了系統(tǒng)性能的科學診斷4)研究成果具有很高的學術價值和重大的經濟、社會效益(1)學術價值(與美國ADC公司 Metrica相比)(i)經濟與社會效益5)獲得國家自然科學基金委員會學部主任基金特別支持費,繼續(xù)攻關研究本項研充經鑒定認為屬國內領先水平.同時由于移動通信網絡優(yōu)化難度很大,各先進國家,特別國際大通信公司都在組織攻關隊伍數學技術對解決這個問題居重要地位,我們得到國家自然科學基金委領導的重視,并獲得國家自然科學基金部主任基金的特別支持,今后將努力在原有基礎上繼續(xù)攻關(3)電力變壓器優(yōu)化設計這是一項28年前(1975年)完成的工業(yè)產品優(yōu)化設計工作.由于它是第一次實踐了更動目標的思想與方法,也由于這次無奈中更動目標函數,并獲得成功,事后受華羅庚教授的評點的啟發(fā),才引發(fā)出“更動”思想的,而且,這是更動目標函數的最好例子,因此,在這里列舉一下需要說明的是,1975年我國電力變壓器行業(yè)對電力變壓器的設計還處在手工計算設計的階段,當時,我國電子計算機也只有第一代電子管計算機(在中國科學院計算所,稱109乙機),用電子計算機代替手工計算進行設計,本身就是難事,更不要說優(yōu)化設計了.當時,運籌學工作者和應用數學工作者也沒有成熟的通過數學建模、再給出算法、真正解決實際問題的經驗.為了真正解決實際問題,必須按照當時的材料性能、工廠工藝過程的操作水平,以及變壓器各種指標的計算公式,進行數學建模,然后再研究解法.因此,當時建立的數學模型十分復雜,有連續(xù)變量,也有離散變量,表達式多數是非線性的.所建模型是一個非線性混合型整數規(guī)劃問題.表達式中套表達式(函數之函數)共有近80個式子,目標函數表達式更為冗長.整數規(guī)劃的割平面法無計可施,分支定界法也無從下手.無奈中,發(fā)現從物理意義上考慮的另一個目標函數|u(x)-o+|p(x)-po,其中x是n維變量.如果用它替代原來的目標函數,加上我們發(fā)現的u(x)與p(x)的函數特性.分支定界法的威力一下就發(fā)揮出來了.這就是在平面矩形對角線交點(中心),做一次數值計算就可以去掉矩形的一半子矩形的所有點,這樣,一種特殊的算法提出來,有效地解決了這個問題事后,華羅庚教授評點該項研究時說:在當時進行這項研充有以下幾個不容易:(1)建立數學模型,不容易;(2)利用計算機,不容易;(3)中國煤中的目標函數思想的提出,不容易;(4)根據目標函數特性給出平面對分,更動目標的思想就提出來了,找一個實際上等價的目標函數(它不是奴⊥1對度時等,用它替代原來的目標函數,這種替代不影響原問題的本質.可是由于用它的替代后形成的新問題,在算法研究上發(fā)數學進展港卷生了質的變化,問題一下就變得容易求解了.在實踐中,此法常用,不但用在更動目標函數上,而且也用在更動約束條件上,每一次都很成功.這種思想對于解決面向實際問題的應用數學研究是行之有效的,我們稱這種技巧為更動目標法或更動約束法.這種技巧與華羅庚教授提倡的模型算法一體化思想相配合,是應用數學創(chuàng)造型研究的有力武器.靈活性體現在“更動”上從嚴格數學意義上說,更動目標函數和更動約束條件是有許多“靈活的”、“更動”空間的.請看2維線性規(guī)劃問題的圖解法圖2左圖說明,更動目標函數,可以不改變最優(yōu)解(過最優(yōu)解的目標函數可以有無窮多個;右圖說明,更動約束條件,也可以不改變最優(yōu)解(這種更動約束集方式也可能有無窮多個)還需要說明的是,更動目標約束方法與靈敏度分析的意義不同,靈敏度分析是優(yōu)后分析,是分析目標函數若有一些變化對最優(yōu)解的影響;更動目標約束方法是優(yōu)前分析,它給出了求最優(yōu)解的一種新思想目前,我們正與國內某大型變壓器廠一起攻關研究,進行新型變壓器的優(yōu)化設計(4)準格爾露天煤礦優(yōu)化設計(大型露天煤礦的優(yōu)化設計)1)問題來源及背景問題來自國務院和內蒙古自治區(qū)政府.準格爾煤礦是我國最大的露天煤礦.國務院決定開發(fā)它,是因為它在我國能源格局中占重要地位.這個問題的矛盾首先出現在各有關部委(煤炭部、鐵道部、電力部、城建部……)的研究院和設計院的開發(fā)盤子總和大大超過國務院的開發(fā)盤子中國科協(xié)組織12個學科的專家顧問團(帶頭學科是數學,華羅庚教授為總顧問)對該項目開發(fā)進行咨詢研究.2)露天煤礦優(yōu)化設計涉及以下一些課題研究(i)露天煤礦的礦體模型;(i)露天煤礦的最優(yōu)開采境界;(i)露天煤礦礦區(qū)城市布局規(guī)劃(iv)運煤輸電問題的決策;(v)露天煤礦礦區(qū)優(yōu)化設計;(v)能源輸送的優(yōu)化設計,等等我們只就第(v)個問題加以說明,因為它是二次埭塏的個Al中國煤化能源開發(fā)包括一次能源開發(fā)(煤媒、石油等)和二次電)在某個區(qū)域(比如華北與東北地區(qū)),我們考慮增加煤礦引起的輸煤CNMHG乜廠引起的輸電網絡的擴建及最優(yōu)輸送規(guī)劃.這是兩個層次網絡的疊加,能源的轉換發(fā)生在發(fā)電廠,用代數式子表1期楊德莊:靈活的應用數學技術達的方程是目標函數:f(X,x,M)=∑f(x,x,M);i=1D的投資費用:f(xx,M=∑∑(,ED I=tijg2網絡的運行費用f(Xxx,M)=∑∑,)∈9l=19網絡的維修費用:(xM∑∑a∑∑故網絡的補償費用X.XM(i,j)∈Ωl=1發(fā)電廠的投資經費:(xxMO=∑∑∑∑aH+il=1k=l-)(m1)發(fā)電廠的維修費用:f6xx,M)=∑∑∑D的投資經費f(xX,M)=∑(1+r)(,)∈Dl=i網絡的運行費用:(xx,M=∑∑(1+r)}網絡的維修費用:中國煤化工CNMHGf9(X, X, M)。20++22a+m數學進展34卷2網絡的補償費用fro(X, X,M)=∑∑(i)∈百l=1滿足約束(a)9網絡源點的限制:對Vl=1,2,…,m,vj∈J1,ai(b)9網絡節(jié)點平衡條件:Vl=1,2,v∈J2ijl其中D:運輸網絡新加弧的集合;2:運輸網絡所有弧的集合;D:輸電網絡新加弧的集合32:輸電網絡所有弧的集合;S示:運輸網絡中弧(i,八)的建設時間S:輸電網絡中弧(j的建設時間min{1x1>0,(,j)∈Dmin{>0,(,j)∈D}oo for all Tiil=0;P:第l階段對(a,j)的投資經費,(j)∈D;Pg:第l階段對(,j)的投資經費,(i,j)∈D;u1:(,j)單位長的維修費,(,j)∈9;分:(,j)單位長的維修費,(,j)∈忑rx:(j)的損失率,(,j)∈;Fxy:(,)的損失率,(,j)∈5;gt:第l階段第j發(fā)電廠第t類機組,每臺投資費;λ(mul):第l階段,t類機組在j發(fā)電廠的安裝時間;6(x):卡路里為x的每單位煤的價格;中國煤化工Uyt:j發(fā)電廠t類機組每臺維修費;CNMHGBt:每階段t類機組每臺耗煤量Dt:第j階段t類機組發(fā)電量,j∈J6;1期楊德莊:靈活的應用數學技術記由xn分量組成的向量為X,由xy分量組成的向量為x,由mt分量組成的向量為直接求解這兩層次網絡非線性混合型整數規(guī)劃問題是很困難的.又沒有發(fā)現可以更動的目標或約束.所以,我們走二次建模的路子,把它變成一個特殊的n階段網絡圖的最短線路問題,然后用動態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)化原理求解.靈活性體現在思路的靈活轉換,靈活性又體現在二次建模的構思上.其技巧在于構造n階段網絡圖上AA22頂點:發(fā)電廠的裝機容量組成的m維向量.每階段的頂點是前一階段裝機容量擴建后的向弧長:從前一階段某頂點到這階段某頂點之間的弧長,定義為對于前一階段某頂點而言,由這階段某頂點所引起的前層網(鐵道網)的擴建費+維護費+運營費,以及后層網(電網)的擴建費+維護費+運營費之和這些費用的確定要求解若干小的優(yōu)化問題,用軟件包形式支持(5)軍事領域的實際問題來自軍事領域的實際問題,有更嚴格的要求和約定,但是靈活性仍然是非常有效的,由于某些原因,我們不能敘述有關問題的背景,僅從靈活的數學技術的運用上舉一個例子.我們曾面對一個實際軍事問題,建立了一個非線性整數規(guī)劃問題,它有6000多個0-1變量,2000多個不等式約束,目標函數是決策變量的線性函數.為了靈活地解決這一特殊問題,我們引進了新的概念,定義了矩陣函數f(x),1≤i≤m,1≤j≤l,目標更動為 mine max,;f(x),給出一個非常有意義,有效的算法(6)社會發(fā)展與科技進步方面的實際問題來自社會發(fā)展與科技進步方面的實際問題,多數是政策性很強、理論基礎比較薄弱的問題,經常要求我們建立一套理論,隨之研究政策和相關方法技術.這里需要做大量的分析,不僅包括定性分析、定量分析,還要做行為分析.數學技術的靈活運用有著極大的意義.我們以“國家科技進步獎的理論,政策與方法研究”項目為例.我國國家科技進步獎設立幾年后,由于某種原因,對該獎是否繼續(xù)設立,若設立,怎樣保證該獎的權威性、公正性等問題產生了激烈的爭論科學地回答這個問題必須有理論依據,數學技術為理論建立提供了框架結構、分析技巧,模式元構造人群各種模式,統(tǒng)計數學技術對采集的數據進行分析、處理,數據、推演、觀察的綜合法(或稱牛頓綜合法)在這里是有用的牛頓時代的研究對象是天體或運動物,現在的研究對象是人類的部分群體.為了科學地評審科技成果,靈活地運用數學技術,我們提出了一種科學稱量的方法系統(tǒng)稱量法,給出了如何準確稱量的方法和測不準的V凵中國煤化工7)模型算法一體化和更動目標約束思想和方法,CNMHG方面也很有效比如,我們應用這些思想和方法,對一般的線性規(guī)劃數學模型的求解,給出了兩個新算法.一個發(fā)表在《中國科學》(198)上,這是一個模型算法一體化的新算法;另一個發(fā)表在《中國科學數學進展34卷院研究生院學報》(2000)上,這是一個更動目標約束的新橢球算法參考文獻[1] Atiyah M F. 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This is a very important new view for mathematics in the 20th centuryThe new idea leads to the fowering of applied Mathematics technologies in the world. appliedMathematics technologies are the most important part in the mathematics technologies, as wellas, are very difficult. It is because the resolving any real problem coming from practice lies in adeep understanding of them and the concerted efforts of the team- researchers in multi-disciplineHua Loo-Keng applied mathematics technologies emphasize on establishing particular modelsand finding their particular algorithms; emphasize on the idea of fexibility for resolving anyeal problem; emphasize on the idea of integrating the establishment of the model with thealgorithm of resolving the model; emphasize on idea中國煤化工e- constraint andnew conceptsCNMHGKey word: mathematics technology; fexibility; pattern variable; integrating establish-ment model with its algorithm; change-object or change-constraint method