第18卷第3期四川理工學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)Vol. 18 No. 3JOURNAL OF SICHUAN UNIVERSITY OF2005年9月SCIENCE ENGINEERING( NATURAL SCIENCE EDITION文章編號:1673-1549(2005)03-0091-03Desargues命題的應(yīng)用宋占奎(湖北十堰職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,湖北十堰442000)摘要:由 Desargues命題和 Desargues逆命題證明了三點共線或三線共點的問題。還應(yīng)用這兩個命題解決了軌跡問題與求定點問題及作圖問題。關(guān)鍵詞:透視軸;透視中心;三點形;三線形; Desargues命題; Desargues逆命題中圖分類號:O13文獻標(biāo)識碼:A要用 Desargues命題和 Desargues逆命題去解決問題其關(guān)鍵是如何找出兩個三點形或兩個三線形,若經(jīng)分析找到三點形或三線形,則問題就解決了。下面通過實例來說明 Desargues命題與 Desargues逆命題在解題中的應(yīng)用1預(yù)備知識定義1平面內(nèi)不共線的三點與其每兩點的連線所組成的圖形叫做三點形,平面內(nèi)不共點的三直線與其每兩直線的交點所組成的圖形叫做三線形。定義2如果兩個三點形對應(yīng)邊的交點共線,則所在直線叫做它們的透視軸;如果兩個三點形對應(yīng)頂點的連線共點,則公共交點叫做它們的透視中心。這時兩個三點形稱為透視的。定義3平面上4點,其中無3點共線,構(gòu)成一個四點形。每個點叫做頂點,每兩點的連線叫做邊通過不同頂點的兩條邊叫做對邊,對邊的交點叫做對角點,2對角點的連線叫做對角線,3對角點構(gòu)成對角三點形。Desargue命題兩個三點形對應(yīng)頂點的連線交于一點,那么,對應(yīng)邊的交點在一直線上。Desargues逆命題兩個三線形對應(yīng)邊的交點在一直線上,那么,對應(yīng)頂點的連線交于一點。2應(yīng)用舉例2.1應(yīng)用 Desargues命題證明點共線例1已知ABCD為完全四點形,△XYZ為它的對角三點形,設(shè)XY與AB和CD分別交于P、L;YZ與AD和BC分別交于S、Q;XZ與AC和BD分別交于M和N。求證:P、Q、M共線;S、L、M共線;P、S、N共線;Q、L、N共線。證明如圖1,在△ABC與△XYZ中,AX×BY×CZ=D,由 Desargues命題可圖1完全四點形ABCD與其對角三點形XYz中的點共線結(jié)構(gòu)圖知: ABxXY=P、 BCxYZ= Q ACx XZ=M三點共線;中國煤化工在△ADC與△ZYX中,∵ AZX DYCNMHG收稿日期:20050505作者簡介:宋占奎(1947-),男,陜西大荔人,副教授,主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究四川理工學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)2005年9月CX=B,由 Desargues命題可知: ADX ZY=S、 DCx YX、 CA x ZX-M三點共線;在△ZYX與△BCD中, BZX CY x DX=A,由 Desargues命題可知: BCxZY→Q、 CDxYX=L、BDX ZX=N三點共線在△ABD與△YXZ中,∵ BXXDZXAY=C,由 Desargues命題可知:AB×XY=P、 ADXYZ=SBD×ZX=N三點共線22應(yīng)用 Desargues逆命題證明線共點例2直線AB與CD交于U,AC與BD交于V,UV分別交AD、BC于F、G,BF交AC于L。求證:LG、CF、AU交于一點證明如圖2,在△AFL與△UCG中,對應(yīng)邊FL與CG,LA與UG,AF與UC分別交于共線的三點B、V、D。根據(jù) Desargues逆命題知: AUxFC x LG=0。例3設(shè)兩三點形ABC與DEF為透視的,BF與EC,CD與BA,圖2三線形AH與UC對應(yīng)頂AE與DB分別交于K,J,I。求證:D)BC,EF,J共點。2)三點點的連線LG與CF及AU共點O形K與ABC,DEF都透視。證明如圖3,設(shè)三點形ABC與DEF的對應(yīng)頂點連線交于P現(xiàn)考慮三點形BCD與EFA,令 CDx FA=J; BDXEA=; BCXEF=X則∵BEⅹ CF X DA=P,∴根據(jù) Desargues命題知:J,I,X共線。即JxBC×EF=X在三點形BDF與EAC中,令 FB x CE=K, BDX EA=,DFXAC=Y,則∵ BE XDA X FC=P,∴根據(jù)Des命題知:K,I,Y共線,即 KI X DF X CA=Y。在三點形FAB與CDE中,BF×EC=K,FAⅹCD, AB X DE=Z,圖3線BC、EF、』共點X及三點則: FC X AD x BE=P,根據(jù) Desargues命題知:K,J,Z共線,即形K與ABC、DEF都透視結(jié)構(gòu)圖KJXAB X DE=Z。但X,Y,Z共線,(因三點形ABC與DEF透視)所以三點形KJ與ABC,DEF都透視。23應(yīng)用 Desargues逆命題求軌跡例4設(shè)有一變動三角形,其三邊通過共線的三定點,其二頂點分別在二定直線上移動,求第三頂點的軌跡。解如圖4,設(shè)三定點P,Q,R在直線t上,△ABC的頂點A,B分別在定直線m,n上移動,而m,n交于O,連接OC,當(dāng)A,B分別在m,n上移動到D,E時,C移動到F,即△ABC移動到△DEF,:ABDE=Q, BC XEF=P, AC X DF=R。三點在定直線t上,由 Desargues逆命題知:O,C,F共線。點F在OC上,即C點的軌跡為過O點的直線圖4變動性△ABC第二頂24應(yīng)用 Desargues逆命題求定點點C點的軌跡CO結(jié)構(gòu)圖例5已知OX,OY,OZ為三定直線,A與B為二定點,其連線通過O點,R為OZ上的動點且RA,RB交OX,OY于P,Q。試證:PQ通過AB上一定點證明如圖5,設(shè)R在OZ上變動到F時,連接 FA X OX=D;連接FBxOY=E。在△ADP與△BEQ中, DPX EQ-O, APX BQ=R, ADX BE=F?！逴,R,F三點共線。: AB X DE X PQ=S,由Deus迎命題nPQX AB=S,當(dāng)F在OZ上變動時,E在OY上變動,D在定通過 AB x PQ-S,故PQ通過AB上一定點SH例6設(shè)A,B,C為不共線的三點,P是過C的定直線上的一動點,AP與BC交于X,AC與BP交于Y,求證:XY通過AB上的一定點圖5PQ通過AB上證明如圖6,當(dāng)P在過C點的定直線r上移動到F時, APX BC=X,AC定點S的結(jié)構(gòu)圖第18卷第3期宋占奎: Desargues命題的應(yīng)用BP=Y, AFx BC=D, AC xBF=H。XY→DH,這時可以看作把△PXY移動到△FDH,∵FP×HYXD=C,∴它們?nèi)龑叺慕稽c FDX PX=A, HFx YP=B, DHX XY=E,則由 Desargues命題知:A,B,E三點共線,∴ XY X AB=E25應(yīng)用 Desargues命題作圖例7在平面上已知二直線a和b,此外還曉得不在a,b上的一定點P,試問不用先定出a,b的交點,如何用直尺作直線通過P及該交點。解如圖7,在a和b二直線之外任取一點O,過O引出三條直線um,n,圖6XY通過AB上圖7通過點P及點axb的直線PA結(jié)構(gòu)圖ituxa=Q, uxb=B; nx a=R; nx b=c;定點E的結(jié)構(gòu)圖PQxm=S,PBxm=D, SR X DC=A,那么PA就是所求的直線。這是因為△PQB與△ARC合乎 Desargues逆命題的條件。例8設(shè)a,b,c,d為平面內(nèi)四條直線,不用先定出交點cxd與axd,試作一直線過這兩交點解如圖8,連接axcb×d得r,在r上另取一點O,過O引m,n, axc=B, xd=G, cxm=A, dxm=F, anc, bxnHCA X HF:=P,同樣可得Q,PQ即為所求。事實上,△ABC和△FGH滿足 Desargues命題的條件。從而推得P∈(axb)(cxd)直線。同樣Q∈(axb)(cxd)直線。即PQ為通過交點axb與cxd的直圖8通過交點axb與cxd線的直線PO結(jié)構(gòu)圖參考文獻:梅向明,劉增賢,林向巖.高等幾何[M.北京:高等教育出版社,1983.[2]朱德祥.高等幾何M北京:高等教育出版社,1983[3]鐘集.高等幾何[M北京:高等教育出版社,1983[4]方德植,陳奕培.射影幾何[M,北京:高等教育出版社,1983.I5]陳啟旭,王大淦,林達堅,等.高等幾何四M,福州:福建人民出版社,1983.[6][美]·艾利斯編射影幾何的理論和習(xí)題M胡宗慎,周國新,項正清等譯.上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,1987Application of Desargues PropositionSONG Zhan-kui(Dept. of Basic Courses, Shiyan Technical Institute, Shiyan 442000, China)Abstract: By Desargues proposition and Desargues converse proposition, we can prove the problem ofthree point sharing one line and three line sharing one point; by the application of this two propsition, we cansolve the problem of trajectory and fixing point and plottingKey words: axis of homology; centre of the perspectivity; three-point shape; trilinear form; Desarguesproposition; Desargues converse proposition中國煤化工CNMHG