第29卷第5期周口師范學院學報2012年9月Vol 29 No 5Journal of Zhoukou Normal UniversitySep.2012次微分的可變分研究侯慧慧,何中全(西華師范大學數(shù)學與信息學院,四川南充637000摘要:研究了 Banach空間中下半連續(xù)函數(shù)的 Frechet次微分、 Proximal次微分、Q-次微分和E一次微分,得到了這些次微分是可變分的一些充分條件.其結果改進和推廣了相關的一些研究結果關鑣詞: Frechet次微分; Proximal次微分;Q-次微分;E-次微分;變分型中圖分類號:O177.91文獻標志碼:A文章編號:1671-9476(2012)05-0032-03Frechet次微分是非光滑分析中的一個重要內(nèi)容,它在非線性分析研究領域有著廣泛的應用.很多作者將 Frechet次微分推廣到更一般的情形,提出了 Frechet次微分、 Proxima次微分、Q-次微分、E-次微分、e-次微分等,并對這些次微分的性質和應用作了深刻的研究18.近年來,一些作者在 Asplund空間中研究了一些下半連續(xù)函數(shù)次微分的可變分性質,3-8.本文在 Banach空間中研究了一些下半連續(xù)函數(shù)的 Proximal次微分、 Frechet次微分、Q-次微分和E-次微分的可變分性質,其結果推廣和改進了文獻[1,3-8]的一些相關結果1預備知識定義10設X是 Banach空間,X*是X的共軛空間,f:X→R∪{+∞}.設x∈D(f),如果彐∈X·使得f(y)≥f(x)+(x',y-x),y∈D(f),則稱x∈X是∫在x處的 Frechet次梯度.f在x處的 Frechet次梯度的全體稱為∫在x處的 Frechet次微分,記為af(x).如果af(x)≠0,則稱∫在x處是 Frechet次可微的定義2設X是 Banach空間,F(X)是X上的一族實泛函P(X)cX.次梯度a:F(X)→P(X·)對任意下半連續(xù)實泛函f∈F(X),Va,,p∈(0,∞),如果Vw∈X,滿足f(u)0,使得f(y)-f(x)+o‖y-x‖2≥〈x,y-x),y∈D(f),則稱x‘是∫在x處的 Proximal次梯度.f在x處的 Proximal次梯度的全體稱為f在x處的 Proximal次微分,記作f(x).如果a"f(x)≠Q(mào),則稱f在x處是P-次可微的定義403設X是 Banach空間,X是X的共軛空間,f:X→RU{+∞).設x∈D(∫),如果彐x∈X使得f(y)≥f(x)+0,n>0使得f(E(y)≥f(E(x))+〈x,E(y)-E(x))-‖E(y)-E(x)‖2,VE(y)∈B(E(x),n)∈Mf在E(x)處的E-次梯度的全體稱為E-次微分,記為af(E(x).如果af(E(x)≠O,則稱f在E(x)處是E-次可微的引理1( Brondsted- Rockafellar定理)設X是 Banach空間,X是X的共軛空間,f:X→RU{+∞}是真下半連續(xù)凸函數(shù),對Ve≥0,3x∈a,f(x),x∈X,則存在(x,x)∈X×X使得‖x,x‖≤√E,‖x-x'‖≤v∈,f(x,)-〈x:,x.-x〉-f(x)|≤2e且x;∈f(x,).引理231設X是 Banach空間,X·是X的共軛空間,f∈F(X)是真凸函數(shù),則 Frechet次微分arf(x)={x∈X|f(y)≥∫(x)+(x,y-x)},y∈X是可變分的2主要結果本文研究了下半連續(xù)凸函數(shù)的Q次微分、E-次微分、 Proximal次微分和 Frechet次微分在 Banach空間上是可變分的.以下所討論的函數(shù)在不特殊強調的情況下均為F(X)是X上的一族實泛函,P(X)CX,且∫∈F(X)定理1設X是 Banach空間,X’是X的共軛空間,f:X→RU{+∞}是E-凸集McX的下半連續(xù)E凸函數(shù)且∫是次可微的若f在x處有局部極小值則f(E(x))是可變分的證f是下半連續(xù)凸函數(shù),由定義2,對A,P>0,Vx,t∈McX,有由 Ekeland變分原理,彐x∈B(,p)使得f(x)≤f(u),由引理1( Brondsted- Rockafellar定理)得,對ve>0,3x,y∈McX,有‖E(y)-E(x)‖≤√e,而af(E(x)={x‘∈X|38>0,n>0使f(E(y)-f(E(x))≥x°,E(y)-E(x))-8E(y)-E(x)‖2,ⅤE(y)∈B(E(x),n)CM},所以δ‖E(y)-E(x)‖2≤,又由e的任意性,有‖E(y)-E(x)‖2→0,所以,對x,y∈M當x∈af(E(x)),有f(E(y))≥f(E(x))+〈x',E(y)-E(x))因為∫在x處有局部極小值,故存在0∈af(E(x),且A≥0.由定義2知,af(E(x)是可變分的下面證明凸函數(shù)的Q—次微分、 Frechet次微分和 Proximal次微分在 Banach空間上是可變分的命題設X是 Banach空間,X·是X的共軛空間,f:X→RU{+∞},且f是次可微的,對x∈(1)如果f是凸函數(shù),則arf(x)=a°f(x)=af(x)(2)如果af(x)≠O,則∫在x處是下半連續(xù)函數(shù)(3)x∈X是f的全局極小值當且僅當0∈f(x).34周口師范學院學報2012年9月(4)如果x'∈af(x)且x是f的局部最大值則x=0.定理2設X是 Banach空間,f:X→RU{+∞},且f是次可微的,對Ⅴx∈X,(1)若f是凸函數(shù),則f(x)和?f(x)都是可變分的(2)若f(x)≠且x∈X是∫的全局極小值,則af(x)是可變分的(3)若a°f(x)≠,x∈a°f(x)且x是f的局部最大值,則a°f(x)是可變分的證(1)因∫是凸函數(shù),由命題得,df(x)=a°f(x)=a2f(x),又由引理2知,f(x)在 Banach空間上是可變分的,f(x)和af(x)在 Banach空間上是可變分的(2)°f(x)≠O,由命題得,f在x處是下半連續(xù)函數(shù),由定義2,對λp>0,Vx,w∈K,有f(v)≤inf(X)+λp由 Ekeland變分原理,3x∈B(w,p)有f(x)≤f(u),又由x∈X是f的全局極小值,則由命題得,0∈a°f(x),所以λ≥0,于是a°f(x)是可變分的(3)x∈a°f(x)且x是f的局部最大值,由命題得x=0.同(2)證明得,a°f(x)是可變分的定理3設X是 Banach空間,f∈F(X)是下半連續(xù)真凸函數(shù),且f是次可微的,則對y∈X了f(x)和?°f(x)是變分的.即af(x)={x’∈X|彐a>0使得f(y)-f(x)-8y-x‖2≥(x‘,y-x)},∈X|f(y)≥f(x)+〈)+0(y-x)這里1證f是下半連續(xù)真凸函數(shù),由引理1( Brondsted- Rockafellar定理)對e>0,3x,y∈X,有‖y-x‖≤√e,所以,對a"f(x)={x∈X|彐δ>0使得f(y)-f(x)-8‖y-x‖2≥〈x,y-x)}有δ‖y-x‖2≤又由ε的任意性得δ‖y-x‖2→0.對af(x)={x‘∈X|f(y)≥f(x)+(x',y-x)+o()}有Iim0(由Vy∈X,arf(x)={x‘∈X|f(y)≥f(x)+(x,y-x)},得af(x)=0f(x)=a5f(x)又由引理2知,af(x)在 Banach空間上是可變分的,則af(x)在 Banach空間上也是可變分的.所以,f(x)和?f(x)在 Banach空間上是可變分的.參考文獻[1] ENOT J P. Variational Subdifferential for Quasiconvex Functions[J]. Optim Theory & Appl, 2001(1):165-171[2]郭興明.下半連續(xù)函數(shù)的 Proximal-次微分與廣義中值定理[J].數(shù)學物理學報,1998,18(3):324-329[3] MARTINEZ-LEGAZ J E, SACH P H. A New Subdifferential in Quasiconvex Analysis[J]. Conv Anal, 1999(1):1[4] THIBAULT L. Sequential Convex Subdifferential Calculus and Sequential Lagrange Multipliers[J]. Soci Appl Math1997(4):1434-1444.[5]李成林,孔維麗,黃輝E一凸函數(shù)的次微分[門.云南大學學報:自然科學學報,2006,28(5):369-373[6] GEOFFRO M, LASSONDE Y M. Stability of Slopes and Subdifferentials[J]. Set-valued Anal, 2003(11):257-271[7] CARRASCO-OLVER D, FLORES-BAZAN A F. On the Representation of Approximate Subdifferetial for a Class ofGeneralized Convex FunctionsLJ]. Set-Valued Anal, 2005,13:151-166[8] MICHEL P, PENOT J P. A Generalized Derivative for Calm and Stable Functions[J]. Differ Integ Equa, 1992(5)433-454.Variational study on the subdifferentiationsHOU Huihui, HE Zhongquan( School of Mathematics and Information, China West Normal University, Nanchong 637000, China)Abstract: In this paper, subdifferentiations of Frechet, Proximel and Q-subdifferentiations and E- subdifferentiationin Banach spaces are studied. It is obtained that some sufficient conditions about the subdifferentiations are variational. Thepresent results improve and extend some known results in the literatureKey words: Frechet subdifferential; Proximel subdifferential: Q- subdifferential E-subdifferential variational