第41卷第4期東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)VoL. 41 No. 42009年12月Journal of Northeast Normal University(Natural Science Edition)December 2009[文章編號(hào)]10001832(2009)04-000504Engel定理及其應(yīng)用吳險(xiǎn)峰',陳良云2(1.齊齊哈爾大學(xué)數(shù)學(xué)系,黑龍江齊齊哈爾1612.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林長(zhǎng)春130024)摘要]給出了李超代數(shù) Engel定理的一種證明,運(yùn)用Enge定理, Fitting分解及 Frattini理論等得到了冪零李超代數(shù)的5個(gè)充分必要條件[關(guān)鍵詞]冪零李超代數(shù); Engel定理; Fitting分解; Frattini理論[中圖分類號(hào)]O152.5[學(xué)科代碼]110·21[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A1預(yù)備知識(shí)955年,A. Nijenhuis給出了李超代數(shù)的一個(gè)例子.20世紀(jì)70年代,物理學(xué)為了建立相對(duì)論的費(fèi)米子與波色子的統(tǒng)一理論,由Wess和 Union提出了超對(duì)稱性,將普通的時(shí)間空間的 Poincare李代數(shù)擴(kuò)充為超 Poincare代數(shù),從此開(kāi)始了對(duì)李超代數(shù)的研究.李超代數(shù)的研究成果不僅促進(jìn)了物理學(xué)的發(fā)展,在數(shù)學(xué)上亦與組合數(shù)學(xué)、頂點(diǎn)算子代數(shù)、微分方程、微分流形、拓?fù)鋵W(xué)等重要的數(shù)學(xué)分支有著廣泛而深刻的聯(lián)系,因此近年來(lái)關(guān)于李超代數(shù)的研究十分活躍,從基域的角度,李超代數(shù)可分為非模李超代數(shù)即特征零域上的李超代數(shù))與模李超代數(shù)(即素特征域上的李超代數(shù)).30年前,著名數(shù)學(xué)家V.G.Kac完成了有限維單的非模李超代數(shù)的分類.1988年,Kac又完成了無(wú)限維單的線性緊致李超代數(shù)的分類經(jīng)過(guò)多名數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家的研究工作,非模李超代數(shù)的研究已經(jīng)取得了相當(dāng)豐富的成果,形成了系統(tǒng)的理論李超代數(shù)L=L。⊕L1又稱為Z2一階化李代數(shù),L是L。-模.L。是通常的李代數(shù).李超代數(shù)作為李代數(shù)的推廣,其與李代數(shù)的許多性質(zhì)不同.例如:李代數(shù)的Le定理與Lev定理在李超代數(shù)中不成立;半單李代數(shù)可以分解成單李代數(shù)的直和,但這個(gè)結(jié)論對(duì)李超代數(shù)絕對(duì)不成立;李超代數(shù)的 Killing型未必非退化;可解李超代數(shù)的不可約表示未必是一維的等等定義1.1若L=L。L1,[a,b]∈L+,va∈L,b∈La,B∈Z2={0,1},則L稱為超代數(shù)若L=L⊕L1還滿足下面條件則稱為李超代數(shù):(1)[a,b1=-(-1)甲[b,a];(2)[a[b,c]=[a,b],c]+(-1)[b,a,c],va∈L,b∈L,c∈L;a,B∈Z2={0,1}定義1.2若L=LL1是李超代數(shù),L)=L與L=[L,L].若存在k∈N滿足L=0},則稱L為可解李超代數(shù)定義1.3設(shè)L=L。團(tuán)L1是李超代數(shù),L=L,L+1=[L,L].若存在k∈N滿足L={0},則稱L為冪零李超代數(shù)引理1.1設(shè)A=AA1是結(jié)合李超代數(shù)則:(1)(adx)*(y)=∑(-1)*Cxyx,Vx∈A。,Vy∈中國(guó)煤化工(2)(ad2)-(y)=20(-1)Cir"yr", VrEA,, vyCNMHG收稿日期]200806-27基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10701019,10871057);黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(11541366)[作者簡(jiǎn)介]吳險(xiǎn)峰(1970-),女,碩土,副教授,主要從事李超代數(shù)研究;通訊作者陳良云(1972-),博土副教授,主要從事李超代數(shù)研究東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)第41卷(3)(adx)2(y)=∑(-1)C"2xyx2--,x∈A,Hy∈A這里,=(1+i)(1+B)+(k-1)+i(i-1)/2,[i/2]是i/2的整數(shù)部分本文假設(shè)L是任意特征域F上的有限維李超代數(shù),它的理想是階化的.設(shè)P(v)是線性李超代數(shù)有關(guān)李超代數(shù)的知識(shí)可以參考文獻(xiàn)[2-18]Engel定理在李代數(shù)、 Novikov代數(shù)是成立的,但對(duì)李三系來(lái)說(shuō)現(xiàn)在人們已證明對(duì)特征為零的代數(shù)閉域是成立的,對(duì)一般的李三系 Engel定理是否成立還未證明本文給出了李超代數(shù) Engel定理的一種證明,運(yùn)用 Engel定理、 Fitting分解及 frattini理論等得到了冪零李超代數(shù)的5個(gè)充分必要條件2主要結(jié)果引理2.1設(shè)V是域F上的有限維Z2階化向量空間且X是作用在V上的冪零Z2線性變換.若X=0且adX是Pl(v)上的線性變換:Y→adX(Y)=[X,Y],Y∈Pl(v)則adX是冪零的證明由引理1.1和X=0知:(adX)2(Y)=0,vY∈Pl(V).因此(adX)=0,即adX冪零定理2.1設(shè)V≠{0}是域F上的有限維Z2階化向量空間且L是Pl(V)的階化子代數(shù)若L的每個(gè)元素是冪零的,則V中存在一個(gè)非零元素x滿足X(x)=0,YX∈L.證明設(shè)L的維數(shù)為r,對(duì)L的維數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法若dimL=0,則顯然.現(xiàn)在假設(shè)定理對(duì)維數(shù)小于r的所有李超代數(shù)都成立,我們將證明定理對(duì)維數(shù)等于r的所有李超代數(shù)也成立首先,我們將證明L包含有一個(gè)維數(shù)為r-1的理想H.設(shè)H是L的一個(gè)維數(shù)為m(m