第33卷第4期鄭州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)Vol 33 No 42001年12月JOURNAL OF ZHENGZHOU UNIVERSITYDee.2001基于誘生物質(zhì)想法的五維 Dirac方程馬光文,郭宗寬,馬紅彩(鄭州大學(xué)物理工程學(xué)院鄭州450052)摘要:根據(jù) Wesson-Liu誘生物質(zhì)的想法,典型粒子的靜質(zhì)量可通過 Kaluza- Klein型理論約化到四維空時而獲得.通過引入附加維的動量算符并把它認同于靜質(zhì)量本征值算符而將 Dirac方程推廣到五維共形不變形式.當約化到四維空時時得到類似通常形式的 Dirac方程,粒子靜質(zhì)量對彎曲空時是隨空時坐標變化的.具體求解了五維宇宙學(xué)問題,并考察了所得的封閉宇宙模型和靜態(tài)球?qū)ΨQ引力場所得結(jié)果的合理性關(guān)鍵詞:誘生物質(zhì)理論; Kaluza- Klein理論;空-時-質(zhì)理論; Dirac方程中圖分類號:O412.1文章編號:1001-8212(2001)04-0040—06在 Kaluza- Klein型理論的現(xiàn)代發(fā)展中,有一類有趣的理論即 Wesson十幾年前提出的五維空一時質(zhì)理論門.該理論把附加的維度即第五維與典型粒子的靜質(zhì)量聯(lián)系起來,從而把質(zhì)量納入幾何體系.它的一個顯著特點是,一般地將得到典型粒子靜質(zhì)量可變的結(jié)論,這在某種意義上體現(xiàn)了Mach精神23.一個讓 Wesson反復(fù)思索的問題是如何將 Einstein引力場方程推廣到五維空間,即五維能動張量應(yīng)取什么形式.最終, Wesson確定了自己的想法:五維能動張量恒為零,即五維引力場方程的一般形式為RMN=0,其中,M,N取0,1,2,3,4.當它約化到四維時能得到通常的 Einstein引力場方程87G(l(1)其中,μ,ν取0,1,2,3.這里有效的四維物質(zhì)場能動張量T是通過如下的對應(yīng)從附加維得到的,即TR,e-(RWesson把這樣的思想稱為誘生物質(zhì)理論:.在此后的很多工作中, Wesson及其合作者都力圖貫徹這想法.最近,文獻匚6基于誘生物質(zhì)的想法,把標量場的 Klein-Gordon方程以如下方式推廣到五維彎曲空間,即使當約化到四維時,與附加維有關(guān)的部分視為等效的質(zhì)量項.鑒于共形變換能夠保時空的因果結(jié)構(gòu)不變,故場方程的共形不變形式是值得追求的.把[6]中的方程(3)進一步由最小耦合情況推廣到共形不變的形式)g"Np+1R4=0并在此基礎(chǔ)上考査了某些典型引力場中典型標量粒子的靜質(zhì)量,得到了更為理想的誘生可變靜質(zhì)量的結(jié)果H中國煤化工考慮到對于任何一個新理論,從其提出到其最終被CNMHG各個角度對其進行考查檢驗和完善,對于 Kaluza Klein型的可變引力理論(即丑維仝呵一頂埋化),這樣的工作一直在進行著8.馬也曾提出過對于附加維的新解釋及關(guān)于五維能動張量的另一建議10. Macias討論了在此基收稿日期:2001-04-20作者簡分月?lián)?-).男,教授,主要從事高維引力研究第4期馬光文等:基于誘生物質(zhì)想法的五維 Dirac方程41礎(chǔ)上的 Dirac方程.本文則從誘生物質(zhì)的思想出發(fā),研究 Dirac方程的五維推廣方案及其特征.由于Dirac方程的波函數(shù)的多分量特征,原則上會遇到不同于 Klein- Gordon方程的新問題,解決這些問題也是本文的目的點之1五維平空間中的 Dirac方程四維空時中的Drac方程的協(xié)變形式為iyymoy=0其中,選取了c=h=1的單位制, Dirac矩陣γ滿足反對易關(guān)系,即(6)其中,"= diagonal(+1,-1,-1,-1),而y的一種標準表示為其中,取1,2,3;Ⅰ為2×2的單位矩陣;σ為泡利矩陣.按照誘生物質(zhì)的概念, Dirac方程推廣到五維平直空間是簡單的,取”yy,M=0,{5m",3),y}=25n,5mm=diag(+1,1).其中,5y"仍取為(7)式,5)y4可取為y=y1y2y3然而,如果直接按照文獻[6]和[門的做法,令y(x")=y(x")em,把(9)約化到四維時得到bymoDy=0它不是熟知的四維 Dirac方程(5),這似乎是個困難,但這一困難不是實質(zhì)性的,容易解決.例如,如果把P=y“i這一動量算符的附加維度分量認同于靜質(zhì)量算符,考慮自由Diac粒子,則其波函數(shù)為y=a(p,m0)expi(px+mx1-Et).代入方程(8)得ElEl其中,x1=上邊的方程有解的必要條件是左邊系數(shù)行列式為零,即y29AEⅠp·a+im。IEl由此得E=士(P2十m3)2.其中,E和E分別為正能解和負能解.若進一步定解,可解自旋本征值方程,這里不再給出.由此可以看出這一解與方程(5)對自由 Dirac粒子的解完全一樣實際上,如果以sy°左乘(8)兩邊可得yy=0其中,a=(5)y06y=an0/:2=(xoy=i10易驗證它們滿足關(guān)系中國煤化工故(9)式正是Drac方程的通常形式,即方程(5)的等價CNMHG當然,也可以以(-(5y4)左乘(8)式兩邊,并記亦即易驗證,γ滿足上邊的反對易關(guān)系(6).方程(8)現(xiàn)在化為42鄭州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第33卷y把(10)定義的矩陣γ視為四維空時的 Dirac方程,則方程(11)就是另一旋量表示中的方程(5)2彎曲空間中的 Dirac方程先回憶四維空時的情況.當考慮引力場對 Dirac旋量粒子的影響,即要把四維 Dirac方程推廣到彎曲空時時,必須引入標架場1213vu(x)-a5x(r)其中,(x)為X點的局部慣性坐標;a是空時的 Lorentz指標,其升降用m.顯然,gm=VVn,旋量協(xié)變導(dǎo)數(shù)定義為y=(+r)v.其中,n為自旋聯(lián)絡(luò)n=1V"Va,.=1[,y]為 Lorentz群生成元. Dirac方程到彎曲空時的推廣形式為iyvy- my=0其中,γ滿足反對易關(guān)系{γ",γ}=2g灬.按誘生物質(zhì)思想,五維時 Dirac方程在彎曲空間的推廣為(14)所涉及到的 Dirac矩陣、標架、自旋、聯(lián)絡(luò)和旋量協(xié)變導(dǎo)數(shù)均是四維情況的直接推廣,3五維理論中的 Dirac粒子的有效質(zhì)量當把五維彎曲空間中的 Dirac方程(14)約化到相應(yīng)的四維形式并與四維彎曲空時的 Dirac方程(13)比較時,就會得到一個有效質(zhì)量項m,也可稱為誘生質(zhì)量.應(yīng)當指出,在五維平空間中,這種約化程序完全是由解算符P的本征值方程完成的(見上述)而誘生質(zhì)量就是P4的本征值(常數(shù));在五維彎曲空間中,起靜質(zhì)量作用的量不再僅由P4單獨決定,且由于引力的影響,動量也不是常量在多數(shù) Kaluza-Klein型的理論中,人們往往取g4=0.此時gm=gm,五維線元為dx= gndxdx-中dl/.其中,≡x4,五維標架可取為VA0④·非零五維聯(lián)絡(luò)系數(shù)為gg5=-cg④P=-1=g,n=中'T4其中星號“興”表示對l求偏導(dǎo)數(shù).自旋聯(lián)絡(luò)為T=Tn+中g(shù)nV"",5r=V10( 3/2gV)-中.,V°由 Dirac方程(14)得0=i5yvMy=i(5ya5)vy+i(5)(5)Viy vy+liGyop-gvo4y+iry中國煤化工在繼續(xù)關(guān)于ma的討論之前,先須注意如下幾點:(1)彎CNMH應(yīng)為廣義協(xié)變的梯度算符(乘以i),即5)VM,作為的本征值不再代表 Dirac粒子的有效靜質(zhì)量.(2)注意到gm=0,g4φ2及(gm=g灬,則(10)式的推廣式應(yīng)取為3)12y1(5)y=-重-1(5)5y(16)第4期馬光文等:基于誘生物質(zhì)想法的五維 Dirac方程43這樣定義的γ滿足反對易關(guān)系.把(15)式兩邊左乘以-1/(-g412)y,應(yīng)用(16)并設(shè)y(x)y(x")em4,可得0=iyVy+v+117④gma+ia,o(V-gmV)+中,4]yir.y-mird'grVo4-oiVo4(VBk-0govB)-iVago4y該式與方程(13)比較得Zell 2i>*gp-gvo4-ivo(Ve-28nev21va9,n"Jy(17)可以看出,一般來說,m是隨空間坐標變化的,這是該理論所期望的4具體引力場中的應(yīng)用這里,用兩個具體的例子說明以上理論的應(yīng)用.首先考慮靜態(tài)球?qū)ΨQ場,其線元為1.151dS2=Ad(2-A-4dy2-A-4-byd22-A'dlA()≡1-2GM/,1=a2+ab+b2標架可合理地選為V= diagonal(A2,A-",A"r, A arsine,A2),式(17)現(xiàn)化為1 bGM(m2-m0)XI0(18)bGMX2方程(18)有解的必要條件為左側(cè)系數(shù)行列式為零,由此解得m=m±160A4=號-)(19)文獻[7定出b≈0.002,a≈0.999,代入(19)并恢復(fù)到常用單位,得m=m,±0.007Mh如以太陽表面無量鋼引力勢,M2=2.12×10-,=R=6.96×10cm和電子質(zhì)量m=m=9,11×10-g代入上式,則得m=ml(1±1.17×10-3°).這一結(jié)果雖然目前不能用實驗精確檢驗,但至少它肯定不違背經(jīng)驗事實,而理論上卻有重要意義,即體現(xiàn)了Mach原理現(xiàn)在考慮宇宙學(xué)的情況.為此首先求解如下宇宙學(xué)問題,線元取為()(、d2顯然,g灬=g為四維封閉(k≡+1)宇宙模型中的 Robertson- Walker度規(guī).直接計算可知非零Rici張量為R0=3+(RR+2R2+2)RRRR中國煤化工(5)Roo -rRRCNMHGf(5,Rm= sin205,Ro,= Rm-r2sinoRR,Rf-3f/五維引力場方程給出(RMN=0,給出萬方路8/=0,7+3/R=0.f+(+2+2k)=0(20)44鄭州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第33卷方程(20)的前兩個給出∫=R,代入第三式得RR+R2+1=0在四維情況封閉的 Robertson- Walker宇宙模型中,如果物態(tài)方程為p=P/3,則宇宙動力學(xué)方程恰可給出方程(21)并有RR其中,P和R分別為物質(zhì)密度和標度因子的目前值可見,F=R相當于給定了物態(tài)方程p=3方程(22)的解容易求得為R(t)(A-a)2(23)其中,=(5)2k,并已用公1一H,R=0及八>H因是封閉穿宙4=+1)定出了積分常數(shù)a=(°p-H2)R,進而可計算出(24)標架可取為V=diag(11-,Rr, Rosin0,).式(17)化為+1R)IX(meft -mo+RI/X2要求其系數(shù)行列式為零,可得mf=mn±R,恢復(fù)到常用單位制時,可重寫為m=mn±1h盡管所得宇宙學(xué)解(23),(24)并不適用于宇宙目前時期,但作為粗略估計,不妨形式地代入目前值注意到減速參數(shù)目前值q?！?,哈勃參數(shù)目前值H,≈(4.11×107秒)1,則有R。≈H。及8πGρ。/3≈2H1.(22)可給出R≈8丌R≈-2H,連同電子質(zhì)量m≈9.11×10-2g代入(25)式得m=m(1±1.5×10-3)又一次看到結(jié)果的合理性5結(jié)論按照 Wesson-Liu的誘生物質(zhì)思想,本文在建立共形不變的五維 Klein- Gordon方程的基礎(chǔ)上建立了共形不變的五維 Dirac方程.由于描述 Dirac粒子的波函數(shù)是多分量的矩陣形式,所以 Dirac方程的建立原則上不是 Klein-Gordon方程建立方案的簡單模仿.我們首先對五維平直空間的情況把附加維動量算符認同于靜質(zhì)量算符,通過解動量的本征值問題使無質(zhì)量項的五維 Dirac方程約化到四維時獲得質(zhì)量項,并通過找到五維 Dirac矩陣(5)γ和四維 Dirac中國煤化工16)把五維Drac方程推廣到彎曲空間,給出了誘生有效質(zhì)量的一般表達式CNMHG的具體例子,求得了相應(yīng)于四維封閉 Robertson-Walker宇宙模型的五維宇宙學(xué)畔,開x該群考盤了誘生質(zhì)量結(jié)果令人滿意總之,按上述思路建立的 Dirac方程有如下一些值得追求的特點:(1)符合誘生物質(zhì)的想法,這些想法曾是 Einstein的夢想.(2)方程是共形不變的.(3)對五維理論給出了附加維動量算符及其本征值的具體的物理數(shù)搪4)所得的誘生有效質(zhì)量一般與空時幾何有關(guān),而時空幾何又取決于宇宙物質(zhì)分布,故質(zhì)量取決于宇宙物質(zhì)分布,這正是Mach原理所主張的.(5)所得結(jié)果用典型的引力場進行考查,其結(jié)果第4期馬光文等:基于誘生物質(zhì)想法的五維 Dirac方程45不與事實矛盾致謝作者感謝加拿大 Waterloo大學(xué)的 Wesson教授不斷寄贈其論著及論文拷貝,感謝劉宏亞教授和吳又粼教授的有益討論參考文獻[1 Wesson P S. An embedding for general relativity with variable rest mass. Gen Rel grav, 1984,16:193[2 Ma Guangwen. Wesson's gravity and Mach's principle. Phys Lett, 1990,A146: 375[3 Liu H, Mashhe1995,4:565~582[4] Wesson P S. Clarification of an extended theory of gravity and a reply to Gron and Soleng. Gen Rel Gram, 1990[5 Wesson P S. Space-Time-Matter. Singapore World Scientific Press, 1999.[6] Liu H, Wesson P S. On the Klein-Gordon equation in higher dimensions are particle masses variable? Gen Rel[7 Guo Z K, Ma G W. Conformally invariant Klein-Gordon equation in Kaluza-Klein theory. Int J Theor Phys001,40:455[8 Liu H. Wesson P S. Cosmological solutions and their effective properties of matter in Kaluza-Klein theory. Int JMod Phys, 1994. D3: 627[9] Ma Guangwen. Friedmann-type cosmological solutions in Wessons 5D space-time-mass theory of gravity. PhysLett,1990,A143:183[10] Ma Guangwen. The source term of the field equation in the 5D STM theory of gravitation. Astrophys spac[11 Macias A. The Dirac equation in 5-dimensional Wesson gravity. Gen Rel Grav, 1993,25: 5-49[12] Birrell N D, Davies PC W. Quantum Field in Curved Space. London: Cambridge University Press, 1982.[13 Wald R M. General Relativity. Chicago and London: Chicago University Press, 1984[14 Gross D J, Perry M J. Magnetic monopoles in Kaluza-Klein theories. Nucl Phys, 1983, B226: 29.[15 Dauidson A, Owen D A. Black holes as windows to extra dimensions. Phys Lett, 1985. B155: 247-250Five-dimension Dirac Equation in Induced-matter TheoryMa guangwen, Guo Zongkuan, Ma hongcai(School of Physics & Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450052)Abstract: According to the idea of the Wesson-Liu induced-matter, the rest mass of a typical particle is obtained by reducing Kaluza-Klein type theory to 4D space. Dirac equation is generalized to 5Dconformally invariant form by introducing extra-dimension momentum operator identified with the restmass eigenvalue operator. The normal Dirac equation is gained by reducing the generalization to fourdimension space. The rest mass of a particle in curve space vary with the space and time coordinatesa class of exact cosmological solution of the apparently empty 5D Kaluza-Klein field equations is derived. The conclusion is checked reasonable for theric gravity and the closecosmological model中國煤化工Key words: induced-matter theory Kaluza-KleiCNMHGer theory: Dirac equations