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廣義對稱性：聯(lián)結(jié)高能理論、凝聚態(tài)理論與數(shù)學的新概念

時間：2024-04-21 來源：瀏覽：

廣義對稱性：聯(lián)結(jié)高能理論、凝聚態(tài)理論與數(shù)學的新概念

原創(chuàng) 王一男返樸

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在理論物理學的最前沿，正在發(fā)生著一場“廣義對稱性”的概念革命，新的對稱性思想正在不斷涌現(xiàn)。重要的是，這些概念被廣泛應用于高能理論、凝聚態(tài)理論與數(shù)學等領(lǐng)域中，讓這些不同方向的學者因為對稱性這一核心概念而聯(lián)系在一起。本文將簡要介紹一些新穎的對稱性概念，包括高形式對稱性、范疇對稱性，以及在弦論、全息原理等方面的應用。

撰文 | 王一男 （北京大學物理學院研究員）

理論物理學的目標是建立物質(zhì)相互作用的理論體系、解釋自然現(xiàn)象背后的本質(zhì)規(guī)律。為了將理論化繁為簡，一個至關(guān)重要的指導思想是尋找物理體系中的對稱性。對稱性不僅能限制物理理論的形式，還能引出守恒量的概念，可幫助我們理解物理體系的演變過程。

近年來，理論物理領(lǐng)域正在發(fā)生著一場“廣義對稱性” ^[1-4] 的概念革命。來自高能物理、凝聚態(tài)物理與數(shù)學等不同領(lǐng)域的學者們會聚一堂，提出各種新穎的對稱性概念，并在物理體系中的尋找它們的痕跡。本文試圖引領(lǐng)讀者了解這個充滿活力的數(shù)學物理領(lǐng)域，一窺其背后的思想與魅力。

對稱性與守恒量

無論是在宏觀的日常生活中，還是微觀的物理體系中，對稱性都無處不在。從美學的角度來看，對稱性是美的極大體現(xiàn)。甚至可以說，對稱性的美學追求深深刻在了人類基因中。

著名數(shù)學家艾米·諾特（Emmy Noether）提出了關(guān)于對稱性的基本定理——諾特定理。她指出：每一種連續(xù)對稱性都能引出一個守恒量。常見的例子有：

(1) 空間平移對稱性——動量守恒；

在具有空間平移對稱性的系統(tǒng)里，體系的總動量不隨著空間平移而變化。

(2) 時間平移對稱性——能量守恒；

想象一下，在房頂上放置了一個鐵球。在具有時間平移對稱性的系統(tǒng)中，鐵球的重力勢能并不會隨著時間的推移而變化。不論是今天還是明天將其推下，鐵球著地的速度都是相同的。

(3) 空間旋轉(zhuǎn)對稱性——角動量守恒；

花樣滑冰為角動量守恒提供了一個生動的例子。因為角動量等于轉(zhuǎn)動角速度乘以轉(zhuǎn)動慣量，選手縮起手臂時，轉(zhuǎn)動慣量減小，從而使轉(zhuǎn)速加快（此處忽略摩擦等耗散現(xiàn)象）。

也許你會思考：那我們熟知的電荷守恒，又對應著什么樣的對稱性呢？

局域場與規(guī)范對稱性

讓我們回到19世紀，當時物理學家使用了一個重要的新概念——“場”以描述電磁現(xiàn)象，它對人類哲學也產(chǎn)生了沖擊，因為這是一種無形且無處不在的物質(zhì)。最終麥克斯韋總結(jié)了后以他命名的方程組，為經(jīng)典電磁學奠定了理論基礎(chǔ) （此處“經(jīng)典”是與量子對立的概念）。

經(jīng)典電磁理論的一個重要推論是電磁波的存在，例如可見光、微波等。電磁波在真空中的傳播速度是恒定的，即光速。在經(jīng)典電磁場理論中，所有相互作用都是局域的。也就是說，物質(zhì)只能影響其附近的事物，而電磁相互作用的傳播速度不能超過光速。這一特性啟發(fā)了愛因斯坦在20世紀初建立狹義相對論，將三維空間與一維時間統(tǒng)一為有機的整體——四維時空。

狹義相對論可以自然地描述電磁場的動力學（即“電動力學”）。在其現(xiàn)代版本中，基本的物理對象包括由電磁四維矢量描述的場A，以及描述帶電粒子的局域物質(zhì)場 Φ 。這樣的理論具有“規(guī)范對稱性” （或“局域?qū)ΨQ性”），即拉格朗日量在變換 Φ →exp(i λ ) Φ ，A → A+d λ 下不變，這里“規(guī)范參數(shù)”λ是依賴于時空坐標的函數(shù)。因此，四維矢量A也被稱為規(guī)范場。

在理論物理中，人們通常不將這種規(guī)范對稱性視為“真正”的對稱性，因為它意味著理論中存在一些冗余的自由度。實際處理中，需要選擇特定的λ進行“規(guī)范固定”，以得到真實的物理自由度。

與此相反，諾特定理中的對稱性要求λ與時空坐標無關(guān)，即對應于 “全局對稱性” （global symmetry）。本文中提到的“對稱性”默認都指的是全局對稱性。

回到之前的問題：電荷守恒是由什么連續(xù)對稱性得到的呢？

答案是：全局規(guī)范對稱性！電荷是令規(guī)范參數(shù)λ與時空坐標無關(guān)后，應用諾特定理推出的守恒量。

對稱性背后的數(shù)學——群

群是由19世紀數(shù)學天才伽羅瓦（évariste Galois）、阿貝爾（Niels Henrik Abel）等人提出的代數(shù)結(jié)構(gòu)，它作為描述對稱性的基本數(shù)學框架，具有高度的美感。

簡而言之，群是一個集合，一種被額外賦予的代數(shù)結(jié)構(gòu)，即元素之間的群運算a·b （也可稱為群乘法、群加法）。群運算需要滿足

(1) 結(jié)合律a·(b·c)=(a·b)·c；

(2) 可逆性，即群中有唯一的單位元e，使得對任何元素a，存在它的逆元素a ^-1 ，a·a ^-1 = a ^-1 ·a=e。

此定義比較抽象，但從對稱性變換的角度來理解就顯得非常自然。一個群的元素對應某種對稱性變換，群乘法則表示兩次接替的變換，而單位元對應于不變換，逆元對應于逆變換。

用群來表示前文提到的對稱性例子：

(1) 時間平移對稱性——實數(shù)上的加法群R；

(2) 空間平移對稱性——三個獨立實數(shù)的加法群R ³ ；

(3) 空間旋轉(zhuǎn)對稱性——李群SO(3)，每一個群元素可以用三個“歐拉角”來描述；

(4) 電磁場的規(guī)范對稱性——李群U(1)，群元素exp(iλ)對應上文提到的相位旋轉(zhuǎn) （規(guī)范參數(shù)），其中λ的取值范圍是0到2π。

尤其留意，可逆性是群的一個重要定義特征。在后文中，我們將突破群的可逆性，探討“不可逆”的對稱性。

高形式對稱性

在傳統(tǒng)的局域量子場論中，人們研究的焦點通常是局域場算符，它們被定義在時空中的某個0維的點上。傳統(tǒng)的對稱性主要作用在這些局域場算符上。

然而，量子場論中同樣存在著高維的非局域算符。以麥克斯韋電磁學理論為例，我們可以圍繞一個一維的圈上對規(guī)范場A做積分，從而定義出這一在規(guī)范對稱性變換下不變的“威爾遜圈” （Wilson loop）算符。

在廣義對稱性浪潮的早期，奠基性工作“Generalized global symmetries” ^[1] 首先提出了一種被稱為高形式對稱性（Higher-form symmetry）的新穎概念，作用在場論中的高形式算符上。

例如對于不存在帶電粒子的麥克斯韋電磁學理論，可以定義一種拓撲算符——電通量算符（electric flux）作用于威爾遜圈上，形式是將其乘上一個額外的U(1)相位因子（見下圖）。此種全局對稱性被稱作（電的） “1-形式對稱性” （1-form symmetry）。

高形式對稱性同樣滿足諾特定理，上文中1-形式對稱性對應的守恒量即是電通量。由于我們假設(shè)不存在帶電粒子，電通量的確是守恒的。

類似地，當理論中不存在磁荷時，磁通量也是一個守恒量，對應于磁的1-形式對稱性。

更一般地說，以上圖中拓撲方式作用在p維非局域算符上的對稱性，我們稱之為p-形式對稱性。這個命名來源于定義這些拓撲算符的數(shù)學工具——微分形式。在這種語言下，高形式對稱性可以自然地在彎曲時空中進行定義。

高形式對稱性與禁閉

在基礎(chǔ)物理學中，一個重大問題是解釋量子色動力學中的夸克禁閉現(xiàn)象。具體來說，為什么夸克在長距離（低能標）下會組合成質(zhì)子、中子和其他粒子，而我們無法直接觀測到裸夸克呢？這個問題在數(shù)學上對應著克雷數(shù)學研究所千禧年七大數(shù)學問題之一，即楊—米爾斯問題。

在此理論中，威爾遜圈扮演著重要的角色，因為當圓圈的尺寸趨于無窮大時，其行為對應于量子色動力學在長距離下的行為。有以下兩種可能的情況：

(1) 威爾遜圈的取值（真空期望值）呈exp(-A)的形式，與圓圈的面積相關(guān)，被稱為面積律。當圓圈尺寸趨于無窮時，威爾遜圈的真空期望值趨于零，理論處于禁閉狀態(tài)。

(2) 威爾遜圈的取值（真空期望值）呈exp(-L)的形式，與圓圈的周長相關(guān)，被稱為周長律。這時當圓圈尺寸趨于無窮時，威爾遜圈的真空期望值可在加局域抵消項后不等于零，而理論處于解禁閉狀態(tài)。

對于只有規(guī)范場（膠子），沒有物質(zhì)場（夸克）的楊—米爾斯場論，其中蘊含著離散的1-形式對稱性，我們也可以討論其中膠子的禁閉行為。上面提到的面積律（1）對應于1-形式對稱性未發(fā)生自發(fā)對稱破缺的情況，即禁閉狀態(tài)；而周長律（2）則表明1-形式對稱性發(fā)生了自發(fā)對稱破缺，即解禁閉狀態(tài)。

在廣義對稱性的研究中，一個終極目標是找到適用于真實世界的量子色動力學的廣義對稱性，研究其對稱性自發(fā)破缺，最終理解禁閉與解禁閉相之間的相變過程等物理問題。這是一個長遠而富有挑戰(zhàn)性的研究問題。

量子反常，反常理論與SPT

量子世界是一個神秘且與經(jīng)典世界截然不同的領(lǐng)域，其許多方面難以用日常經(jīng)驗理解。在對稱性方面，經(jīng)典場論中具有的對稱性也有可能在量子水平下被破壞。這種物理現(xiàn)象被稱為量子反常（或反常，anomaly） ^[5] 。

具體而言，我們需要計算量子理論的配分函數(shù)是否依然擁有原對稱性。量子反常可分為兩種主要類型：

(1) 規(guī)范對稱性的量子反常；它的存在表明量子規(guī)范場論本身是不自洽的，因而需要用某些物理機制來抵消（例如Green-Schwarz機制）。

(2) 全局對稱性的量子反常，即’t Hooft反常；它的存在本身并不會推翻理論，但如果想將全局對稱性變?yōu)橛袆恿W的規(guī)范對稱性，即進行規(guī)范化，’t Hooft反常將阻礙這一過程的發(fā)生。

在有’t Hooft反常的情況下，我們通常可以引入一個高一維時空中的“反常理論” （anomaly theory），與原來的物理體系相耦合。換句話說，原來d維的物理體系可以被認為存在于某個(d+1)維帶邊流形的邊界上。反常理論是一個拓撲量子場論，其規(guī)范變換正好與d維物理理論中的’t Hooft反常相抵消，這樣組合之后的大體系就沒有反常，見下圖。

在凝聚態(tài)物理中，一個重要的研究課題是探索和分類物理體系中的各種相，特別是被體系的拓撲性質(zhì)所保護的“拓撲序” （topological order）。前述的反常理論的物理圖像正好對應于文小剛老師等人提出的對稱性保護拓撲序（SPT，Symmetry Protected Topological order） ^[6] 。以上的討論也可自然適用到高形式對稱性的情況，為理解量子體系中的對稱性和拓撲性質(zhì)提供了新視角。

超越群——范疇對稱性

正如前文所述，群是一種描述對稱性的自然結(jié)構(gòu)，但是否描述對稱性一定要用群呢？隨著形式化量子場論的發(fā)展和高形式對稱性的提出，人們意識到在場論中需要關(guān)注高維物體和高維算符，例如被p-形式對稱性作用的p維算符。但是，我們能否描述不同高形式對稱性之間的混合呢？以及需要用什么樣的數(shù)學結(jié)構(gòu)來描述呢？

答案是：現(xiàn)代數(shù)學的靈魂——范疇。

范疇是集合論的推廣與集大成，同時也是數(shù)學的一個重要前沿領(lǐng)域。一個一階范疇包含了一些對象（object）和對象之間的關(guān)系（被稱為“態(tài)射”，1-morphism）。進一步，我們可以定義二階范疇（2-category），其中包含關(guān)系之間的關(guān)系（2-morphism），三階范疇包含關(guān)系的關(guān)系的關(guān)系（3-morphism），以此類推，甚至到無窮范疇。

在拓撲學中，我們可以將空間上的每個點看成對象，兩個點之間的路徑看成對象之間的關(guān)系，兩個路徑之間張成的面看成關(guān)系之間的關(guān)系，等等。因此，可以看出范疇論早期的發(fā)展與代數(shù)拓撲中的同倫論（homotopy theory）存在密切的聯(lián)系。

在代數(shù)中，我們同樣可以用范疇的語言定義代數(shù)結(jié)構(gòu)。例如，群可以被看作是只有一個對象“?”的一階范疇，其中每個群元素對應“?”到自己的一個1-morphism。當然，對于群來說，這些1-morphism都是可逆的，并且需要滿足結(jié)合律。

接下來就是將群推廣到高階群（higher-group），一個n階群（n-group）被定義為只有一個對象“?”的n階范疇。在這個n階范疇中，包括可逆的1-morphism、2-morphism直到n-morphism，它們在物理中對應于不同的對稱性變換，作用在不同維度的算符上。

更細致地說，對稱群在物理算符上的作用方式是由其“群表示”確定的。一個簡單的例子是三維空間中的旋轉(zhuǎn)變換，它可以作用在三維坐標矢量上。在線性代數(shù)中，這可以理解為一個3×3的旋轉(zhuǎn)矩陣去乘以一個三維列矢量。換句話說，我們用一個3×3矩陣去“表示”旋轉(zhuǎn)對稱群的元素。

對于高階群的群表示，也需要用所謂的“n階矢量空間” （一個n階范疇）去替代普通的矢量空間。在數(shù)學領(lǐng)域，一般的高階群與表示理論還未被完全建立，而此問題在數(shù)學和物理中都存在許多未知的可能性，亟待人們深入探索。

不可逆對稱性

在范疇對稱性的討論中，我們依然假設(shè)所有對稱變換都是可逆的?，F(xiàn)在自然而然地引出一個問題：我們能否放松對可逆性的要求呢？

在一般的范疇中，1-morphism當然可以是不可逆的。一個經(jīng)典例子是非阿貝爾群的表示張量范疇（representation tensor category），其中的1-morphism是群表示，而它們之間的結(jié)合就是群表示之間的張量乘積展開。一個簡單的例子是SU(2)群，其不可約表示可用自旋標記。兩個自旋1/2的粒子結(jié)合，可以得到一個自旋為1的三重態(tài)，以及一個自旋為0的單重態(tài)：

在這個代數(shù)系統(tǒng)中，單位元可以被定義成自旋為0的單重態(tài)。然而，對于張量積運算而言，不存在逆元的概念。

接下來，我們將探討物理系統(tǒng)中的不可逆對稱性 ^[3] 。一般來說，生成不可逆對稱性的拓撲算符之間的張量積需要形成以下的一般形式，即等式右邊是若干個算符的直和：

一個具有不可逆對稱性的物理實例可由以下方法構(gòu)造：考慮一個具有離散非阿貝爾群G對稱性的場論模型，我們將這個對稱性規(guī)范化，變成一個規(guī)范群為G的規(guī)范場論。可以證明，新的體系會具有一個新的對稱性G’，其對稱性代數(shù)為G的Pontryagin對偶，也就是G的表示張量范疇。由于非阿貝爾群的表示在張量乘積運算下不可逆，我們因此構(gòu)造出了一個帶有不可逆對稱性的物理體系。

我們還可以研究最一般的，由n階張量范疇描述的高階范疇對稱性，這些高階范疇對稱性的定義和性質(zhì)與普通對稱性大不相同。如何研究它們的表示論、量子反常、對稱性破缺等問題都是數(shù)學物理中的前沿課題。

廣義對稱性與弦論

如何理解非微擾、強耦合、強關(guān)聯(lián)系統(tǒng)是物理學中的基本難題，也是數(shù)學物理的終極問題之一。由于一般的非微擾量子場論過于復雜，人們會嘗試討論一些具有更高對稱性的模型。

其一是探討具有標度不變性的“共形場論”。這些理論在統(tǒng)計物理中用于描述臨界現(xiàn)象，同時也能描述量子場論在極限短距離（紫外）或極限長距離（紅外）下的“不動點理論”。

其二是引入一種新的對稱性——超對稱，要求理論中的玻色子與費米子兩兩配對。超對稱可簡化、減少量子場論中的量子修正。

共形場論與超對稱量子場論一直以來都是形式化高能理論的重點研究領(lǐng)域，它們背后蘊含著豐富的數(shù)學結(jié)構(gòu)。例如四維N=2超對稱場論的Seiberg-Witten理論、四維N=4超對稱場論的散射振幅結(jié)構(gòu)，以及各種對偶性等都是深受關(guān)注的研究方向。

值得一提的是，有些量子場論同時具備超對稱性和共形不變性，它們被稱為“超對稱共形場論” （superconformal field theory）。這類理論很多都是非微擾的，甚至沒有經(jīng)典拉氏量近似描述。著名的例子包括四維的“Argyres-Douglas”理論，以及眾多的五維、六維時空中的超對稱共形場論等 ^{[7, 8]} 。

我們可以在弦論框架中系統(tǒng)地構(gòu)造許多超對稱共形場論，這也被稱為“幾何工程” （geometric engineering）。弦論是一種自上世紀70年代以來發(fā)展起來的量子引力候選理論，旨在統(tǒng)一量子場論與廣義相對論。諸多現(xiàn)代數(shù)學分支也隨著弦論的進展而一同得到發(fā)展，如復代數(shù)幾何、鏡像對稱、計數(shù)幾何、共形場論相關(guān)的算子代數(shù)，等等。

人們通常使用的弦論版本是10維的IIA/IIB超弦理論，或者11維的M-理論、“12維”的F-理論等。為了獲得我們所需的低維理論，我們需要把其中一些額外的時空維數(shù)置于滿足一定數(shù)學條件的幾何空間上，比如著名的卡拉比-丘流形。

當我們希望構(gòu)造不含引力部分的超對稱共形場論時，選取的幾何空間需要滿足以下的性質(zhì)：

(1) 幾何空間的體積趨于無窮，使得低維理論的牛頓引力常數(shù)趨于零，即引力相互作用可被忽略；

(2) 幾何空間包含一個奇異點，即呈現(xiàn)下圖的錐形結(jié)構(gòu)。超對稱共形場論中的物理自由度就隱藏在這個奇異點當中。

前文提到的許多有趣的超對稱共形場論都可以通過這種方法構(gòu)造。近年來的研究表明，雖然我們?nèi)匀缓茈y描述這些理論的動力學細節(jié)，但卻可以直接利用幾何空間的拓撲性質(zhì)去計算它們的全局結(jié)構(gòu)，尤其是它們的廣義對稱性。

具體而言，在超弦/M-理論中都存在著奇異的高維“膜”物體，如超弦中的D膜和M-理論中的M2、M5膜。通過將這些膜纏繞在一些特定的子空間上，我們可以直接構(gòu)造出廣義對稱性作用的高維物理對象！例如，筆者與合作者首次通過這種方法計算了四維“Argyres-Douglas”理論及其推廣理論的高形式對稱性 ^[9] 。

近年來，一些學者也在探索用弦論框架來構(gòu)造不可逆對稱性和高階范疇對稱性 ^[10] 。這種嘗試或許可以在一定程度上將弦論“范疇化”。

廣義對稱性與全息

除了前文提到的在弦論中的直接幾何構(gòu)造方式，還有一種在弦論框架中研究量子場論的途徑，即AdS/CFT對應，或更廣義地說是全息原理。AdS/CFT對應的核心思想在于兩個物理理論之間存在對偶性（等價性），分別是：

(1) 彎曲的反德西特（Anti de-Sitter ，AdS）時空中的量子引力理論。這里的反德西特時空可以視為一種具有邊界的負曲率雙曲時空；

(2) 在AdS時空邊界上定義的一個量子場論，該場論中沒有引力相互作用。

由于AdS時空中量子引力理論的信息完全包含在其邊界場論當中，這種對應關(guān)系類似于光學中的全息現(xiàn)象，所以也被稱為全息原理。

在某些極限情況下，我們能夠建立弱耦合引力理論與強耦合邊界場論之間的對偶關(guān)系。因此，AdS/CFT也被認為是一種有望解決強耦合物理問題的理論框架。

從廣義對稱性的角度看，在AdS/CFT中，量子引力中的規(guī)范對稱性對應于邊界量子場論中的全局對稱性。

因此，為了研究AdS/CFT框架下邊界量子場論的廣義對稱性，我們可以去尋找AdS量子引力中是否存在合適的規(guī)范場。讀者可能會發(fā)現(xiàn)，此物理圖像與上文中講的反常理論與SPT的圖像非常相似。實際上，邊界量子場論的’t Hooft反常正好對應于AdS中量子引力的拓撲項！在近年，筆者與合作者利用M-理論的幾何框架成功計算了著名的三維ABJ/ABJM理論的’t Hooft反常，以及其他三維超對稱共形場論的情形 ^[11] 。

展望

廣義對稱性是一個蓬勃發(fā)展的新領(lǐng)域，不斷刷新著人們對于對稱性這一古老概念的認知。它的重要意義不僅在于其在各物理分支中的應用，更在于它成功重新團結(jié)了三個原本獨立的群體：高能理論學家、凝聚態(tài)理論學家和數(shù)學家。在國際理論物理學界，人們逐漸開始習慣用廣義對稱性的語言和思考方式來分析問題。筆者相信，廣義對稱性將成為物理基礎(chǔ)教育中的一部分。如果讀者想更深入地學習廣義對稱性，可參考筆者與王晴睿老師以及學生羅然合作撰寫的綜述講義 ^[2] ，以及其他相關(guān)講義 ^{[3, 4]} 。

最后，讓我們簡要展望一下這三個方向的未來研究前景：

(1) 在高能理論方面，研究各種廣義對稱性的量子反常、對稱性自發(fā)破缺等基本問題，深入研究廣義對稱性在弦論與引力-全息對偶中的實現(xiàn)形式，探索在粒子物理、散射振幅、模型構(gòu)造中的物理應用等。

(2) 在凝聚態(tài)理論方面，用廣義對稱性描述各種拓撲物態(tài)、SPT，在格點哈密頓量模型中實現(xiàn)廣義對稱性，分類融合范疇、高階融合范疇（higher fusion category）及其對應的拓撲場論，研究在拓撲量子計算中的潛在應用等。

(3) 在數(shù)學領(lǐng)域，細致地研究高階范疇及其表示論，嚴格證明拓撲量子場論、SPT等領(lǐng)域的物理猜想，推動量子場論的公理化，為理論物理提供更嚴密的數(shù)學基礎(chǔ)。

參考文獻

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